Covariance de variables aléatoires transformées

J'ai deux variables aléatoires et . $X > 0$ $Y > 0$

Étant donné que je peux estimer comment puis-je estimer

Cov (X, Y),

$\text{Cov}(X, Y),$

Cov (\log (X), \log (Y)) ?

$\text{Cov}(\log(X), \log(Y))?$

data-transformation covariance random-variable

— user7064
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Cette dernière question portait sur la corrélation au lieu de la covariance, mais elle est liée: stats.stackexchange.com/questions/35941/…

— Douglas Zare

On pourrait adopter l'approche de l'expansion de Taylor:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Éditer:

Prenez , . $U=\log(X)$ $V=\log(Y)$

Utilisez l'expansion de Taylor multivariée pour calculer une approximation de (de manière similaire à l'exemple à la fin de "First Moment" dans le lien qui fait le cas le plus simple de , et utiliser des extensions univariées pour calculer des approximations de et (comme indiqué dans la première partie de la même section) avec une précision similaire. À partir de ces éléments, calculez la covariance (approximative). $\rm{E}(UV)$ $\rm{E}(X.1/Y))$ $\rm{E}(U)$ $\rm{E}(V)$

S'étendant à un degré d'approximation similaire à l'exemple du lien, je pense que vous vous retrouvez avec des termes dans la moyenne et la variance de chaque variable (non transformée), et leur covariance.

Modifier 2:

Mais voici une petite astuce qui peut vous faire économiser quelques efforts:

Notez que et et . $\rm{E}(XY) = \rm{Cov}(X,Y) + \rm{E}(X)\rm{E}(Y)$ $X=\exp(U)$ $Y=\exp(V)$

Étant donné nous avons

E [f (X)] \approx f (μ_{X}) + \frac{f^{″} (μ_{X})}{2} σ_{X}^{2}

$\operatorname{E}\left[f(X)\right]\approx f(\mu_X) +\frac{f''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

E (\exp (U)) \approx \exp (μ_{U}) + \frac{\exp (μ_{U})}{2} σ_{U}^{2} \approx \exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2})

$\operatorname{E}(\exp(U)) \approx \exp(\mu_U) + \frac{\exp(\mu_U)}{2}\sigma_U^2 \approx \exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Edit: Cette dernière étape découle de l'approximation de Taylor , ce qui est bon pour les petits (en prenant ). $\exp(b) \approx 1 + b$ $b$ $b =\frac{1}{2}\sigma_U^2$

(cette approximation est exacte pour , normal: ) $U$ $V$ $\operatorname{E}(\exp(U))=\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2)$

Soit $W = U + V$

E (X Y) = E (\exp (U) . \exp (V)) = E (\exp (W))

$\operatorname{E}(XY) = \operatorname{E}(\exp(U).\exp(V)) = \operatorname{E}(\exp(W))$

\approx \exp (μ_{W}) + \frac{e x p (μ_{W})}{2} σ_{W}^{2} \approx \exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})

$\approx \exp(\mu_{W}) + \frac{exp(\mu_{W})}{2}\sigma_W^2 \approx \exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)$

et étant donné , puis $\operatorname{Var}(W) = \operatorname{Var}(U) + \operatorname{Var}(V) + 2 \operatorname{Cov}(U,V)$

(Éditer:)

1 + \frac{Cov (X, Y)}{E (X) E (Y)} = \frac{E (X Y)}{E (X) E (Y)}

$1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)} = \frac{\operatorname{E}(XY)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)}$

\approx \frac{\exp (μ_{W} + \frac{1}{2} σ_{W}^{2})}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_W+\frac{1}{2}\sigma_W^2)}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \frac{\exp (μ_{U} + μ_{V} + \frac{1}{2} (σ_{U}^{2} + σ_{V}^{2} + 2 Cov (U, V)))}{\exp (μ_{U} + \frac{1}{2} σ_{U}^{2}) . \exp (μ_{V} + \frac{1}{2} σ_{V}^{2})}

$\approx \frac{\exp(\mu_U+\mu_V+\frac{1}{2}(\sigma_U^2+\sigma_V^2+2 \operatorname{Cov}(U,V)))}{\exp(\mu_U+\frac{1}{2}\sigma_U^2).\exp(\mu_V+\frac{1}{2}\sigma_V^2)}$

\approx \exp [Cov (U, V)]

$\approx \exp[\operatorname{Cov}(U,V)]$

D'où . Cela devrait être exact pour le gaussien bivarié $\operatorname{Cov}(U,V)\approx \log(1+\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)})$ $U,V$

Si vous utilisiez la première approximation plutôt que la seconde, vous obtiendriez une approximation différente ici.

— Glen_b -Reinstate Monica
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Pourriez-vous donner un peu plus de détails s'il vous plaît? Quoi qu'il en soit, merci pour la suggestion

— user7064

Édité pour les détails.

— Glen_b -Reinstate Monica

Merci @Glend_b. J'accepterai lorsque des détails seront ajoutés. En attendant, +1 :-)

— user7064

Pas de soucis; J'étais occupé à l'époque, puis j'ai complètement oublié. Maintenant corrigé

— Glen_b -Reinstate Monica

Cela fonctionne généralement mieux pour les variables non gaussiennes si les variances de et sont petites (de manière équivalente, si les coefficients de variation de et sont petits).

U

$U$

V

$V$

X

$X$

Y

$Y$

— Glen_b -Reinstate Monica

Sans hypothèses supplémentaires sur et , il n'est pas possible de déduire la covariance du log en connaissant la covariance initiale. En revanche, si vous avez pu calculer partir de et , qu'est-ce qui vous empêche de calculer partir de et directement? $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(X,Y)$ $X$ $Y$ $\mathrm{Cov}(\log(X), \log(Y))$ $\log(X)$ $\log(Y)$

— ThePawn
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