Moments centraux des distributions symétriques

J'essaie de montrer que le moment central d'une distribution symétrique: est zéro pour les nombres impairs. Ainsi, par exemple, le troisième moment centralJ'ai commencé par essayer de montrer queJe ne sais pas où aller à partir d'ici, des suggestions? Y a-t-il une meilleure façon de prouver cela?

f_{x} (a + x) = f_{x} (a - x)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— user18262
source

Astuce: pour simplifier, supposons que soit symétrique par rapport à . Vous pouvez ensuite montrer que en divisant l'intégrale entre et et en utilisant l'hypothèse de symétrie. Il vous suffit de montrer que pour . Cela peut être fait à nouveau en divisant l'intégrale et en utilisant un argument similaire.

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

Mais, indice , soyez prudent avec la suggestion de @ Procrastinator (+1)! Sinon, vous pouvez "prouver" quelque chose de faux! Vous devez montrer que chaque pièce de l'intégrale divisée est finie. (Si l'un l'est, l'autre doit l'être aussi.)

— Cardinal

Quelle est la difference entre et ?

a

$a$

u

$u$

— Henry

@DilipSarwate Pourquoi ne capturez-vous pas toutes ces pensées dans une réponse au lieu de rechercher des détails dans les commentaires qui n'ont pas l'intention d'être des réponses complètes?

@Macro: Dommage, vraiment. Procrastinator rejoint maintenant une liste de plusieurs contributeurs très précieux (à mon avis) que nous avons apparemment perdu au cours des derniers mois (ou qui ont fortement réduit leur activité). Sur le plan positif, il est très agréable de voir votre récente augmentation de participation! J'espère que cela continuera.

— cardinal

Cette réponse vise à faire une démonstration aussi élémentaire que possible, car de telles choses arrivent souvent à l'idée essentielle. Les seuls faits nécessaires (au-delà du type le plus simple de manipulations algébriques) sont la linéarité de l'intégration (ou, de manière équivalente, de l'attente), le changement de formule des variables pour les intégrales et le résultat axiomatique qu'un PDF intègre à l'unité.

Cette démonstration est l'intuition que lorsque est symétrique par rapport à , alors la contribution de toute quantité à l'attente aura le même poids que la quantité , car et sont sur les côtés opposés de et également éloignés de celui-ci. À condition, alors, que pour tout , tout s'annule et l'attente doit être nulle. La relation entre et est donc notre point de départ. $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

Remarquez, en écrivant , que la symétrie peut tout aussi bien s'exprimer par la relation $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

pour tous . Pour toute fonction mesurable , le changement de variable un à un de à change en , tout en inversant le sens de l'intégration, ce qui implique $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

En supposant que cette attente existe (c'est-à-dire que l'intégrale converge), la linéarité de l'intégrale implique

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

Considérons les moments impairs sur , qui sont définis comme les attentes de , . Dans ces cas $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k} \\ = 2 (x - a)^{k}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

précisément parce que est impair. L'application du résultat précédent donne $k$

0 = \int (G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 2 \int (x - a)^{k} f_{X} (x) d x .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

Parce que le côté droit est deux fois le ème moment autour de , la division par montre que ce moment est nul chaque fois qu'il existe. $k$ $a$ $2$

Enfin, la moyenne (en supposant qu'elle existe) est

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

Exploitant encore une fois la linéarité, et rappelant que parce que est une distribution de probabilité, nous pouvons réorganiser la dernière égalité à lire $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

avec la solution unique . Par conséquent, tous nos calculs précédents des moments autour de sont vraiment les moments centraux, QED. $\mu_X = a$ $a$

Postword

La nécessité de diviser par en plusieurs endroits est liée au fait qu'il existe un groupe d'ordre agissant sur les fonctions mesurables (à savoir le groupe généré par la réflexion dans la ligne autour de ). Plus généralement, l'idée d'une symétrie peut être généralisée à l'action de tout groupe. La théorie des représentations de groupe implique que lorsque le personnage $2$ $2$ $a$ de cette action sur une fonction n'est pas triviale, elle est orthogonale au caractère trivial, et cela signifie que l'attente de la fonction doit être nulle. Les relations d'orthogonalité impliquent l'addition (ou l'intégration) sur le groupe, d'où la taille du groupe apparaît constamment en dénominateurs: sa cardinalité quand il est fini ou son volume quand il est compact.

La beauté de cette généralisation devient apparente dans les applications à symétrie manifeste , comme dans les équations de mouvement mécaniques (ou mécaniques quantiques) des systèmes symétriques illustrés par une molécule de benzène (qui a un groupe de symétrie à 12 éléments). (L'application QM est la plus pertinente ici car elle calcule explicitement les attentes.) Les valeurs d'intérêt physique - qui impliquent généralement des intégrales multidimensionnelles de tenseurs - peuvent être calculées sans plus de travail que ce qui était impliqué ici, simplement en connaissant les caractères associés à la integrands. Par exemple, les "couleurs" de diverses molécules symétriques - leurs spectres à différentes longueurs d'onde - peuvent être déterminées ab initio avec cette approche.

— whuber
source

(+1) Dans la section commençant par "Considérez les moments étranges à propos d' ...", je crois que la troisième ligne devrait se lire .

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

— supposé normal

@Max Yep: Merci d'avoir lu si attentivement! (C'est maintenant corrigé.)

— whuber