quel est le pdf du produit de deux variables aléatoires indépendantes X et Y, si X et Y sont indépendants? X est distribué normalement et Y est distribué khi carré.

Z = XY

si a une distribution normale et a une distribution du chi carré avec degré de liberté Y \ sim \ chi_k ^ 2 f_Y (y) = {y ^ {(k / 2) -1} e ^ { -y / 2} \ over {2 ^ {k / 2} \ Gamma ({k \ over2})}} u (y) où u (y) est la fonction de pas d'unité.$X$

$$X\sim N(\mu_x,\sigma_x^2)$$ $$f_X(x)={1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}e^{-{1\over2}({x-\mu_x\over\sigma_x})^2}$$ $Y$$k$ $$Y\sim \chi_k^2$$ u(y $$f_Y(y)={y^{(k/2)-1}e^{-y/2}\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}u(y)$$ $u(y)$

Maintenant, quel est le pdf de $Z$ si $X$ et $Y$ sont indépendants?

Une façon de trouver la solution consiste à utiliser le résultat bien connu de Rohatgi (1976, p.141) si $f_{XY}(x,y)$ être joint pdf de RV continue $X$ et $Y$ , le pdf de $Z$ est

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{XY}({z\over y},y)dy}$$

puisque, et sont indépendants Où nous sommes confrontés au problème de la résolution de l'intégrale . Quelqu'un peut-il m'aider avec ce problème.Y f X Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f Z ( z ) = ∫ ∞ - ∞$X$$Y$$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ fZ(z)=

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty}{{1\over|y|}f_{X}({z\over y})f_{Y}(y)dy}$$ ∫∞0 $$f_Z(z) = {1\over\sigma_x\sqrt{2\pi}}{1\over{2^{k/2}\Gamma({k\over2})}}\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$$ $\int_{0}^{\infty}{{1\over|y|}e^{-{1\over2}({{z\over y}-\mu_x\over\sigma_x})^2} {y^{(k/2)-1}e^{-y/2}}dy}$

existe-t-il un autre moyen de résoudre ce problème?

simplifier le terme dans l'intégrale de

$T=e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} y^{k/2-2}$

trouver le polynôme tel que$p(y)$

$[p(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)}]'=p'(y)e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' e^{-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)} = T$

ce qui revient à trouver tel que$p(y)$

$p'(y) + p(y) [-\frac{1}{2}((\frac{\frac{z}{y}-\mu_x}{\sigma_x} )^2 -y)]' = y^{k/2-2}$

ou

$p'(y) -\frac{1}{2} p(y) (\frac{z \mu_x }{\sigma_x^2} y^{-2} \frac{z^2}{\sigma_x^2} y^{-3} -1)= y^{k/2-2}$

qui peut être fait en évaluant séparément toutes les puissances de $y$

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La solution ci-dessus ne fonctionnera pas car elle diverge.

Pourtant, certains autres ont travaillé sur ce type de produit.

Utilisation de la transformée de Fourrier:

Schoenecker, Steven et Tod Luginbuhl. "Fonctions caractéristiques du produit de deux variables aléatoires gaussiennes et du produit d'une variable gaussienne et d'une variable aléatoire gamma." Lettres de traitement du signal IEEE 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

Pour le produit avec X ∼ N ( 0 , 1 ) et Y ∼ Γ ( α , β ) ils ont obtenu la fonction caractéristique:$Z=XY$$X \sim \mathcal{N}(0,1)$$Y \sim \Gamma(\alpha,\beta)$

$\varphi_{Z} = \frac{1}{\beta^\alpha }\vert t \vert^{-\alpha} exp \left( \frac{1}{4\beta^2t^2} \right) D_{-\alpha} \left( \frac{1}{\beta \vert t \vert } \right)$

avec la fonction de Whittaker ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )$D_\alpha$

Utilisation de la transformation de Mellin:

Springer et Thomson ont décrit plus généralement l'évaluation des produits des variables aléatoires distribuées bêta, gamma et gaussienne.

Springer, MD et WE Thompson. "La distribution des produits des variables aléatoires bêta, gamma et gaussiennes." SIAM Journal on Applied Mathematics 18.4 (1970): 721-737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

Ils utilisent la transformation intégrale de Mellin. La transformée de Mellin de est le produit des transformées de Mellin de X et Y (voir http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 ou https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201 ). Dans les cas de produits étudiés, la transformation inverse de ce produit peut être exprimée comme une fonction G de Meijer pour laquelle ils fournissent et prouvent également des méthodes de calcul.$Z$$X$$Y$

Ils n'ont pas analysé le produit d'une variable distribuée gaussienne et gamma, bien que vous puissiez utiliser les mêmes techniques. Si j'essaie de le faire rapidement, je pense qu'il devrait être possible d'obtenir une fonction H ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ) bien que je ne vois pas directement la possibilité d'obtenir un G- fonctionner ou apporter d'autres simplifications.

$M\lbrace f_Y(x) \vert s \rbrace = 2^{s-1} \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

et

$M\lbrace f_X(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{(s-1)/2} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2)$

vous obtenez

$M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace = \frac{1}{\pi}2^{\frac{3}{2}(s-1)} \sigma^{s-1} \Gamma(s/2) \Gamma(\tfrac{1}{2}k+s-1)/\Gamma(\tfrac{1}{2}k)$

$Z$

$f_Z(y) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} y^{-s} M\lbrace f_Z(x) \vert s \rbrace ds$

$2^{\frac{3}{2}(s-1)}$ term) as at least a H-function

what is still left is the puzzle to express this inverse Mellin transform as a G function. The occurrence of both $s$ and $s/2$ complicates this. In the separate case for a product of only Gaussian distributed variables the $s/2$ could be transformed into $s$ by substituting the variable $x=w^2$. But because of the terms of the chi-square distribution this does not work anymore. Maybe this is the reason why nobody has provided a solution for this case.