Estimation des paramètres de la distribution exponentielle avec échantillonnage biaisé

Je veux calculer le paramètre $\lambda$ de la distribution exponentielle $e^{-\lambda x}$à partir d'un échantillon de population extrait de cette distribution dans des conditions biaisées. Pour autant que je sache, pour un échantillon de n valeurs, l'estimateur habituel est$\hat{\lambda} = \frac{n}{\sum x_i}$. Cependant, mon échantillon est biaisé comme suit:

A partir d'une population complète de m éléments tirés iid de la distribution exponentielle, seuls les n plus petits éléments sont connus. Comment estimer le paramètre$\lambda$ dans ce scénario?

Un peu plus formellement, si $\{x_1,x_2,x_3,...,x_m \}$ les échantillons sont-ils tirés de $e^{-\lambda x}$, de telle sorte que pour chaque $i < j$ on a $x_i \leq x_j$, alors comment puis-je estimer $\lambda$ de l'ensemble $\{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}$ où $n < m$.

Merci beaucoup!

Michael

L'estimateur du maximum de vraisemblance pour le paramètre de la distribution exponentielle sous la censure de type II peut être dérivé comme suit. Je suppose que la taille de l'échantillon est$m$, dont le $n < m$ les plus petits sont observés et $m - n$ les plus grands sont non observés (mais connus pour exister).

Supposons (pour des raisons de simplicité de notation) que les $x_i$ sont commandés: $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$. Ensuite, la densité de probabilité conjointe de$x_1, \dots, x_n$ est:

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\sum_{i=1}^nx_i\right\}\exp\left\{-\lambda(m-n)x_n\right\}$

où la première exponentielle se rapporte aux probabilités de la $n$ observé $x_i$ et le second aux probabilités du $m-n$ inobservé $x_i$ qui sont supérieurs à $x_n$ (qui est juste 1 - le CDF à $x_n$.) Réorganiser les termes conduit à:

$f(x_1, \dots, x_n) = {m!\lambda^n \over {(m-n)!}}\exp\left\{-\lambda\left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]\right\}$

(Notez que la somme $n-1$ car il y a un "$+1$"dans le coefficient de $x_n$.) Prendre le log, puis le dérivé wrt $\lambda$ et ainsi de suite conduit à l'estimateur du maximum de vraisemblance:

$\hat{\lambda} = n / \left[\sum_{i=1}^{n-1}x_i+(m-n+1)x_n\right]$

Cela relie la réponse de @ jbowman à mon commentaire. À savoir, selon des hypothèses de travail courantes, on peut utiliser la «probabilité de survie standard» sous la censure de type II.

> #------seed------
> set.seed(1907)
> #----------------
> 
> #------some data------
> t <- sort(rexp(n=20, rate=2))        #true sample
> t[16:20] <- t[15]                    #observed sample
> delta <- c(rep(1, 15), rep(0, 5))    #censoring indicator
> data <- data.frame(t, delta)         #observed data
> #---------------------
> 
> #-----using @jbowman's formula------
> 15 / (sum(t[1:14]) + (5 + 1)*t[15])
[1] 2.131323
> #-----------------------------------
> 
> #------using the usual survival likelihood------
> library(survival)
> fit <- survreg(Surv(t, delta)~1, dist="exponential", data=data)
> exp(-fit$coef)
(Intercept) 
   2.131323 
> #-----------------------------------------------

PS1: Notez que cela n'est pas limité à la distribution exponentielle.

PS2: Les détails peuvent être trouvés dans la section 2.2 du livre de Lawless .

En supposant $n$ est connue, une estimation peut être obtenue via

$\Phi(x_k)=1-e^{-\lambda x_k} \approx (k/n)$ où $x_k$, $0<k<m$, se réfère à la $k$'e valeur la plus petite de votre ensemble de données réduit.

La logique est: si vous aviez l'ensemble complet de $n$ échantillons, vous pouvez construire le CDF empirique, $\Phi$, à partir de cet échantillon. Ensuite, si vous avez pris un article$k$ de ce tableau trié, il correspondrait à la valeur CDF $k/n$. Dans de nombreux cas,$k=n/2$ est un choix utile.