Distribution postérieure pour la régression linéaire bayésienne

J'ai fait des recherches sur l'utilisation de la régression linéaire bayésienne, mais je suis arrivé à un exemple qui me rend confus.

Compte tenu du modèle:

$${\bf y} = {\bf \beta}{\bf X} + \bf{\epsilon}$$

En supposant que et un ,${\bf \epsilon} \sim N(0, \phi I)$$p(\beta, \phi) \propto \frac{1}{\phi}$

Comment est atteint ?$p(\beta|\phi, {\bf y})$

Où: .$p(\beta|\phi, {\bf y}) \sim N({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1}{\bf X}^{\text{T}}{\bf y}, \phi ({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1})$

Il manque une parenthèse gauche dans votre formule finale.

Il s'agit d'un problème standard qui ne nécessite aucun travail difficile. La page wikipedia sur la régression bayésienne résout un problème plus difficile; vous devriez pouvoir utiliser la même astuce (qui est fondamentalement juste une forme de compléter le carré, car vous le voulez en termes de pour certains et ), avec moins de termes à se soucier. Autrement dit, vous arrivez à quelque chose comme ça:$(\beta - m)' V^{-1} (\beta - m)$$m$$V$

$$\begin{align}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)&= (\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})(\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta}) + \mathbf{S} \end{align}$$

où

$$\begin{align}\mathbf{S} = (\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})\end{align}$$

dans l'exposant.

Voir aussi les références à l'article wikipedia.

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