Laquelle est la plus grande d'un groupe de variables aléatoires normalement distribuées?

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J'ai des variables aléatoires $X_0,X_1,\dots,X_n$ . a une distribution normale avec une moyenne et une variance . Les rvs sont normalement distribués avec la moyenne et la variance . Tout est mutuellement indépendant. $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$

$E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ $\Pr[E]$

Dans mon application, est fixe ( ) et je veux trouver la plus petite valeur pour qui fait , mais je suis également curieux de la question générale. $n$ $n=61$ $\mu$ $\Pr[E] \ge 0.99$

probability normal-distribution

— DW
source

Quelle est la taille de ? Il devrait y avoir de bonnes expressions asymptotiques basées sur la théorie des grands échantillons.

n

$n$

— whuber

@whuber, merci! J'ai édité la question: dans mon cas . Même si n'est pas assez grand pour compter aussi grand, s'il y a de bonnes estimations asymptotiques dans le cas où est grand, ce serait intéressant.

n = 61

$n=61$

n = 61

$n=61$

n

$n$

— DW

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En utilisant l'intégration numérique,

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$ .

— whuber

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Le calcul de ces probabilités a été étudié de manière approfondie par les ingénieurs des communications sous le nom de signalisation orthogonale $M$ -ary où le modèle est que l'un des $M$ signaux orthogonaux d'égale énergie également susceptibles d'être transmis et que le récepteur tente de décider lequel a été transmis en examinant le sorties de $M$ filtres adaptés aux signaux. En fonction de l'identité du signal transmis, les sorties d'échantillons des filtres adaptés sont des variables aléatoires normales (variance unitaire) indépendantes de la variance unitaire. L'échantillon de sortie du filtre adapté au signal transmis est un $N(\mu,1)$ variable aléatoire tandis que les sorties de tous les autres filtres sont variables aléatoires. $N(0,1)$

La probabilité conditionnelle d'une décision correcte (qui dans le contexte actuel est l'événement ) conditionnée à est $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$ oùest la distribution de probabilité cumulée d'une variable aléatoire normale standard, et donc la probabilité inconditionnelle est

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{je = 1}^{n} P {X_{je} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

où

est la fonction de densité normale standard. Il n'y a pas d'expression de forme fermée pour la valeur de cette intégrale qui doit être évaluée numériquement. Les ingénieurs sont également intéressés par l'événement complémentaire - que la décision est erronée - mais n'aiment pas le calculer comme

car cela nécessite une évaluation très minutieuse de l'intégrale pour

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

P {X_{0} < max_{je} X_{je}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$ avec une précision de plusieurs chiffres significatifs, et une telle évaluation est à la fois difficile et longue. Au lieu de cela, l'intégrale pour

peut être intégrée par parties pour obtenir

1 - P (C)

$1-P(C)$

Cette intégrale est plus facile à évaluer numériquement, et sa valeur en fonction de

est représentée graphiquement et tabulée (mais malheureusement seulement pour

) dans le chapitre 5 deTelecommunication Systems Engineeringpar Lindsey et Simon, Prentice-Hall 1973, Dover Press 1991 Alternativement, les ingénieurs utilisent l'inégalitéliée àl'unionou de Bonferroni

P {X_{0} < max_{je} X_{je}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) ré α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

où

est la fonction de distribution normale cumulative complémentaire.

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{je} X_{je}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{je = 1}^{n} P {X_{0} < X_{je}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

De la borne de l'union, nous voyons que la valeur souhaitée pour est bornée ci-dessus par $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

$M$

— Dilip Sarwate
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Une réponse formelle:

$N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$

À partir de cela, vous pouvez calculer la probabilité que $X_0$ est supérieur au $N-1$ d'autres via $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

Vous devrez peut-être examiner diverses approximations afin de traiter ce problème pour votre application spécifique.

— Dave
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+1 En fait, la double intégrale se simplifie en une seule intégrale puisque

\int_{y}^{\infty} p (X_{0}) ré X_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$ donnant

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) ré y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$ qui est la même que dans ma réponse.

— Dilip Sarwate