Une distribution de probabilité peut-elle avoir un écart-type infini?

Je crois $p[x]$ est une distribution de probabilité, où

p [X] = \frac{1}{π (1 + X^{2})}

$\begin{equation} p[x] = \frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{equation}$

car il est positif partout et s'intègre à 1 sur $-\infty, \infty$ .

La moyenne est 0 par symétrie, même si l'intégration $xp[x]$ sur $-\infty, \infty$ ne converge pas. C'est "suspect" car $p[x]$ est censé être une distribution de probabilité, mais raisonnable car $xp[x]$ est $O(1/x)$ qui est connu pour diverger.

Le plus gros problème réside dans le calcul de l'écart type. Depuis $x^2 p[x]$ diverge également, car $x^2 p[x]$ est $O(1)$ .

Si ce n'est pas une distribution de probabilité, pourquoi pas? Si tel est le cas, son écart-type est-il infini?

La fonction de distribution cumulative est $\arctan[x]/\pi$ si cela aide.

Quelqu'un a mentionné que cela pourrait être une distribution gamma, mais ce n'est pas clair pour moi.

distributions standard-deviation

— barrycarter
source

@ user1566: J'ai formaté vos équations en utilisant LaTex. Pourriez-vous vérifier que je n'ai pas introduit d'erreurs?

— csgillespie

Merci, le problème est résolu, donc ce n'est plus un gros problème, mais, oui, tout semble OK.

— barrycarter

La moyenne d'un Cauchy n'est pas nulle. En fait, cela n'existe pas. Ainsi, aucun de ses moments centraux non plus.

— cardinal

ma réponse à une question connexe se trouve ici. stats.stackexchange.com/questions/232967/…

— Haitao Du

Pour répondre au titre de votre question: Oui, une distribution de probabilité peut avoir un écart-type infini (voir ci-dessous).

Votre exemple est un cas particulier de la distribution de Cauchy dont la moyenne ou la variance n'existe pas. Réglez le paramètre d'emplacement sur 0 et l'échelle sur 1 pour que le Cauchy accède à votre pdf.

Il existe une différence entre la moyenne et la variance inexistantes et infinies.

— Cardinal

La distribution de Cauchy n'a pas de moyenne ou de variance, en ce sens que l'intégrale ne converge vers rien dans $[-\infty,\infty]$ . Cependant, une distribution comme $f(x)=\frac{2}{x^3}$ sur $[1,\infty)$ a une moyenne, mais l'écart-type est infini.

— Alex R.
source