L'écart absolu moyen est-il inférieur à l'écart-type pour

Je veux comparer l'écart moyen absolu avec l'écart type dans le cas général avec cette définition:

M UNE ré = \frac{1}{n - 1} \sum_{1}^{n} | X_{je} - μ |, S ré = \sqrt{\frac{\sum_{1}^{n} (X_{je} - μ)^{2}}{n - 1}}

$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$

où . $\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$

Est-il vrai que pour chaque ? $MAD \le SD$ $\{x_i\}^n_1$

C'est faux pour , car , pour chaque . $n=2$ $x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$ $x, y \ge 0$

Il est facile de montrer que:

M UNE ré \leq \sqrt{\frac{n}{n - 1}} \times S ré

$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$

mean standard-deviation mean-absolute-deviation

— Lisbeth
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Réponses:

Non, en général, ce n'est pas vrai.

Un moyen simple de voir cela est de simuler. Je pirate généralement une boucle infinie qui s'arrête si elle trouve un contre-exemple. Si cela fonctionne pendant une longue période, je commence à me demander si la revendication pourrait être vraie. Dans le cas présent, mon code R ressemble à ceci:

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

Il donne ce contre-exemple:

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

— Stephan Kolassa
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C'est une façon intelligente d'utiliser la simulation! Cela m'a évité de répondre incorrectement que le résultat est toujours valable en raison de l'inégalité de Jensen ... qui n'est apparemment pas applicable lorsque vous divisez par

au lieu de

n - 1

$n-1$

n

$n$

— CloseToC

Cependant, je pense qu'une réponse qui compare

à l'écart moyen avec le dénominateur

serait, je pense, utile, car elle donnerait du contexte au contre-exemple.

s_{n}

$s_n$

n

$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

Voici une approche plus mathématique. Premièrement, il est probablement vrai que par un changement de variables, on peut supposer que la moyenne est nulle. Certes, du point de vue de la recherche d'un contre-exemple, cela est acceptable. Donc, en fixant $\mu = 0$ , en quadrillant les deux côtés de l'inégalité proposée et en multipliant par (n-1) on reste avec l'inégalité proposée -

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

Cela semble louche. (n-1) n'est pas suffisant pour compenser tous les $|x_i| |x_j|$ termes . Surtout si tous les $x_i$ sont les mêmes en valeur absolue. Ma première supposition était n = 4 et $x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$ . Cela conduit à $\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$ . Je pense que ce genre de chose est bien connu des gens intéressés par les inégalités.

— meh
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n

$n$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm 1$

M UNE ré = \frac{n}{n - 1} > \sqrt{\frac{n}{n - 1}} = S ré

$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$

M A D \leq S D

$MAD \leq SD$

x_{i}

$x_i$

n

$n$

x_{0} = - 2

$x_0=-2$

x_{1} = x_{2} = 1

$x_1=x_2=1$

x_{i} = \pm 1

$x_i = \pm1$

M UNE ré = \frac{n + 1}{n - 1} > \sqrt{\frac{n + 3}{n - 1}} = S ré

$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$

n - 1

$n-1$

n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2} (n + 3) (n - 1) = n^{2} + 2 n - 3

$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$

M A D > S D

$MAD > SD$

x_{i}

$x_i$

| x_{i} | | x_{j} |

$|x_i| |x_j|$

n^{2}

$n^2$

(n - 1)

$(n-1)$

x_{i}

$x_i$

@Martijn Tout ce que je disais, c'est que faire une petite algèbre a montré la voie pour trouver des contre-exemples. Je ne pense nullement, et je ne pense même pas avoir donné l'impression que je pensais, que l'inégalité était toujours fausse ou vraie.

— meh

Le commentaire "(n-1) n'est pas suffisant pour compenser ..." m'a semblé un peu difficile. Dans certains cas, cela peut suffire.

— Sextus Empiricus