Quelqu'un peut-il m'expliquer les paramètres d'une distribution log-normale?

Je fais de la lecture et voici la définition que j'ai tirée du livre de DeGroot:

Est-ce à dire que les paramètres sont les mêmes? Par exemple, supposons que X est distribué lognormalement et Y est normalement distribué où Y = log (X). Est-ce à dire que X et Y ont la même moyenne et les mêmes écarts SD, même s'ils ont des distributions de formes différentes? Sinon, à quelle distribution μ et σ font-ils référence?

En d'autres termes, si quelqu'un dit que X est lognormalement distribué avec la moyenne μ et SD σ, dois-je faire une conversion pour que la moyenne et SD soient en termes normaux?

normal-distribution lognormal

— confus
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Ne confondez pas les paramètres d'une famille de distribution avec des moments. Bien que paramètrent les distributions log-normales, ce ne sont pas leurs moyennes ou leurs écarts-types.

μ, σ

$\mu,\sigma$

— whuber

Ils ont les mêmes paramètres, mais ils n'ont pas la même moyenne ou le même écart-type. Les deux paramètres, et qui sont la moyenne et l'écart-type de ne sont pas la moyenne et l'écart-type de Mais la moyenne et l'écart-type de sont des fonctions de et

μ

$\mu$

σ,

$\sigma,$

\log X,

$\log X,$

X .

$X.$

X

$X$

μ

$\mu$

σ .

$\sigma. \qquad$

— Michael Hardy

Réponses:

supposons que X est lognormalement distribué et Y est normalement distribué où Y = log (X)

C'est là que vous êtes confus. Vous ne faites pas d'hypothèses sur deux distributions, dont l'une se trouve être le journal de l'autre.

, Vous commencez à la place avec une distribution . Ensuite , vous considérez . Si , alors nous disons que la distribution d'origine est lognormale avec les paramètres et . $X$ $\log X$ $\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$ $X$ $\mu$ $\sigma^2$

(Et puis la moyenne de est , par exemple, donc les paramètres ne sont certainement pas les mêmes. C'est aussi pourquoi il vaut mieux parler des "paramètres" d'une lognormale, plutôt que de la "moyenne et SD" - car il est très facile de se tromper que ceux-ci se réfèrent à la moyenne réelle ou la log-moyenne, même pour SD.) $X$ $\exp\left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)$

— Stephan Kolassa
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Ok merci d'avoir clarifié. Donc, généralement, lorsque les gens fournissent les paramètres, tels que μ et σ, cela se réfère à la distribution de Y ou log (X). Pour obtenir la moyenne de la distribution lognormale, il faut une conversion.

— confondu le

Bonne réponse! J'étais en retard de quelques secondes pour poster le mien. 😃

— Isabella Ghement

Mais les paramètres sont les mêmes. Alors la moyenne et l'écart-type et bien d'autres choses sont les mêmes, mais ces deux paramètres sont les mêmes.

— Michael Hardy

@MichaelHardy: oui, les paramètres sont les mêmes, par définition. Je grimace un peu à chaque fois que quelqu'un appelle le "paramètre moyen du lognormal", car ce n'est que le log-mean, et c'est si facile de les confondre.

μ

$\mu$

— Stephan Kolassa

Wikipedia a un bel article sur les distributions log-normales: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution . L'article révèle que le X log-normalement distribué et le log normalement distribué (X) ont des moyennes et des écarts-types différents.

Si X suit une distribution log-normale avec les paramètres et , alors et représentent la moyenne et l'écart-type de la distribution de log (X), ce qui est normal. En d'autres termes, la moyenne et l'écart type du log normalement distribué (X) sont: $\mu$ $\sigma$ $\mu$ $\sigma$

Moyenne de $\log(X)=\mu$

SD de $\log(X) = \sigma$

La moyenne et l'écart type du X log-normalement distribué sont les suivants:

Moyenne de X = $\exp(\mu + \sigma^2/2)$

SD de X = $\sqrt{\left[\exp\left(\sigma^2\right) - 1\right] \cdot \exp(2\mu + \sigma^2)}$

— Isabella Ghement
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La réponse d'Isabella Ghement est bonne. Je voulais juste souligner que dans cette réponse, SD de X a une faute de frappe. exp [𝜎 ^ 2−1] devrait être (exp [𝜎 ^ 2] −1). Je faisais un échantillonnage Monte Carlo pour vérifier la moyenne et l'écart-type d'une distribution log-normale et mon écart-type ne correspondait pas à l'expression ci-dessus. Vérifié la page wiki liée et noté la faute de frappe. PS: Je voulais vraiment ajouter un commentaire à la réponse @Isabella Ghement, mais je n'ai pas les informations d'identification nécessaires pour le faire. Ajouter une nouvelle réponse à la place.

— Ajay A