Limiter la distribution de

Soit une séquence de variables aléatoires iid . Définissez et pour . Trouver la distribution limite de$(X_n)$$\mathcal N(0,1)$$S_0=0$$S_n=\sum_{k=1}^n X_k$$n\geq 1$

$$\frac1n \sum_{k=1}^{n}|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$$

Ce problème provient d'un livre de problèmes sur la théorie des probabilités, dans le chapitre sur le théorème de la limite centrale.

Puisque et sont indépendants, et$S_{k-1}$$X_k$$E(|S_{k-1}|(X_k^2 - 1))=0$

Notez que les sont clairement pas indépendants. Le problème vient des problèmes de probabilités de Shiryaev , qui est lui-même basé sur le manuel du même auteur. Le manuel ne semble pas couvrir le CLT pour les variables corrélées. Je ne sais pas s'il y a une séquence de mixage stationnaire qui se cache quelque part ...$|S_{k-1}|(X_k^2 - 1)$

J'ai exécuté des simulations pour avoir une idée de la réponse

import numpy as np
import scipy as sc
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt

n = 20000 #summation index
m = 2000 #number of samples

X = np.random.normal(size=(m,n))
sums = np.cumsum(X, axis=1)
sums = np.delete(sums, -1, 1)
prods = np.delete(X**2-1, 0, 1)*np.abs(sums)
samples = 1/n*np.sum(prods, axis=1)

plt.hist(samples, bins=100, density=True)
x = np.linspace(-6, 6, 100)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, 0, 1/np.sqrt(2*np.pi)))
plt.show()

Vous trouverez ci-dessous un histogramme de échantillons ( ). Il semble assez distribué normalement ...$2000$$n=20.000$

Lorsque je simule la distribution, j'obtiens quelque chose qui ressemble à une distribution Laplace. Encore mieux semble être un q-Gausian (les paramètres exacts que vous devriez trouver en utilisant la théorie).

Je suppose que votre livre doit contenir une variation du CLT qui se rapporte à cela (théorème de la limite centrale généralisée q, c'est probablement dans la section 7.6 Le théorème de la limite centrale pour les sommes des variables dépendantes , mais je ne peux pas le chercher car je n'ont pas le livre à disposition).

library(qGaussian)
set.seed(1)
Qstore <- c(0) # vector to store result

n <- 10^6  # columns X_i
m <- 10^2  # rows repetitions

pb <- txtProgressBar(title = "progress bar", min = 0,
                     max = 100, style=3)
for (i in 1:100) {  
  # doing this several times because this matrix method takes a lot of memory
  # with smaller numbers n*m it can be done at once

  X <- matrix(rnorm(n*m,0,1),m)
  S <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(X[x,])))
  S <- cbind(rep(0,m),S[,-n])
  R <- abs(S)*(X^2-1)
  Q <- t(sapply(1:m, FUN = function(x) cumsum(R[x,])))

  Qstore <- c(Qstore,t(Q[,n]))
  setTxtProgressBar(pb, i)
}
close(pb)

# compute histogram 
x <- seq(floor(min(Qstore/n)), ceiling(max(Qstore/n)), 0.2)
h <- hist(Qstore/(n),breaks = x)

# plot simulation
plot( h$mid, h$density, log = "y", xlim=c(-7,7),
      ylab = "log density" , xlab = expression(over(1,n)*sum(abs(S[k-1])*(X[k]^2-1),k==1,n) ) )

# distributions for comparison
lines(x, dnorm(x,0,1),                   col=1, lty=3)      #normal 
lines(x, dexp(abs(x),sqrt(2))/2,         col=1, lty=2)      #laplace
lines(x, qGaussian::dqgauss(x,sqrt(2),0,1/sqrt(2)), col=1, lty=1)      #qgauss

# further plotting
title("10^4 repetitions with n=10^6")
legend(-7,0.6,c("Gaussian", "Laplace", "Q-Gaussian"),col=1, lty=c(3,2,1),cex=0.8)