La valeur absolue d'une série stationnaire est-elle également stationnaire?

8

Je sais que les transformations linéaires des séries temporelles résultant de processus (faiblement) stationnaires sont également stationnaires. Est-ce vrai, cependant, pour une transformation d'une série en prenant également la valeur absolue de chaque élément? En d'autres termes, si est stationnaire, alors stationnaire? $\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$ $\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$

time-series data-transformation stationarity

— Arthur Campello
source

1

Juste une note sur la terminologie: Pour moi, stationnaire signifie que toutes les distributions de dimension finie sont invariantes au décalage. Avec cette définition, la réponse est évidemment "oui". Si vous voulez dire que seules la moyenne et la covariance des distributions de dimension finie sont invariantes au décalage (ce que j'aurais appelé "faiblement stationnaire"), alors la réponse est évidemment non, comme le montre la réponse de @Yves. Il n'y a aucune raison de s'attendre à ce que | X | est contrôlé par X et X ^ 2. Si par «faiblement stationnaire» vous voulez dire que seule la moyenne est invariante, comme FransRodenburg, vous devez changer votre terminologie.

— Bananach

6

Dans un cas particulier, cela est quelque peu vrai:

Si votre série chronologique est stationnaire avec une erreur normalement distribuée, les valeurs absolues de votre série temporelle d'origine suivent une distribution normale pliée stationnaire. Étant donné que même une stationnarité faible signifie que la moyenne et la variance sont constantes dans le temps, les valeurs absolues seront également stationnaires. Pour les autres distributions, cela signifie que les valeurs absolues de la série temporelle d'origine sont au moins faiblement stationnaires, car la variance constante des valeurs d'origine se traduit par une moyenne constante des nouvelles valeurs.

Cependant, si votre série chronologique d'origine n'a qu'une moyenne constante, la variance peut changer au fil du temps, ce qui affectera la moyenne des valeurs absolues. Par conséquent, les valeurs absolues ne seront pas (faiblement) stationnaires elles-mêmes.

Une réponse plus générale nécessiterait une étude de la fonction de génération de moment de la valeur absolue d'une variable aléatoire. Peut-être que quelqu'un avec une formation plus mathématique peut répondre à cela.

— Frans Rodenburg
source

1

Dans une série chronologique faiblement stationnaire, la variance ne peut pas changer avec le temps; c'est une constante. Veuillez donc préciser s'il s'agit de la variance de la série chronologique d'origine ou de la variance des valeurs absolues dont vous discutez dans cette phrase.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Vous avez raison, j'ai confondu la terminologie et modifié ma réponse en conséquence.

— Frans Rodenburg

3

Laisser $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ être une série chronologique où $X_n$ est une variable aléatoire discrète prenant des valeurs $\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$ avec une probabilité égale $\frac 14$ . Il est facile de vérifier que $E[X_n] = 0$ et

\begin{aligned} E [X_{m} X_{m + n}] & = \frac{1}{4} [\cos (m) \cos (m + n) + péché (m) péché (m + n) \\ = + (- \cos (m)) (- \cos (m + n)) + (- péché (m)) (- péché (m + n))] \\ = \frac{1}{2} [\cos (m) \cos (m + n) + péché (m) péché (m + n)] \\ = \frac{1}{2} \cos (n) \end{aligned}

$\begin{align}E[X_mX_{m+n}] &= \frac 14\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\\ &= ~~~~~ + (-\cos(m))(-\cos(m+n))+(-\sin(m))(-\sin(m+n))\bigg]\\ &= \frac 12\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\bigg]\\ &= \frac 12\,\cos(n)\end{align}$ et donc le processus est faiblement stationnaire. Elle n'est évidemment pas non plus strictement stationnaire car

X_{0}

$X_0$ et

X_{n}

$X_n$ ,

n \neq 0

$n\neq 0$ prendre différentes valeurs et donc les distributions de

X_{n}

$X_n$ et

X_{m}

$X_m$ sont différents au lieu d'être les mêmes que ceux nécessaires (ainsi que de nombreuses autres exigences) pour une stationnarité stricte.

Pour le processus faiblement stationnaire décrit ci-dessus, le processus $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ n'est pas faiblement stationnaire car $E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$ n'est pas une constante comme cela est nécessaire pour une stationnarité faible (bien qu'il soit vrai que la fonction d'autocorrélation $E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$ est fonction de $n$ seul).

D'un autre côté, comme l'a noté @bananach dans un commentaire sur la question principale, si la stationnarité est interprétée comme une stationnarité stricte , alors la stationnarité stricte de $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implique que $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ est également un processus strictement stationnaire. Les processus strictement stationnaires à variance finie sont également des processus faiblement stationnaires, et donc pour cette sous-classe, il est vrai que la stationnarité faible de $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implique une stationnarité faible de $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ . But, as described in the first part of this answer, one cannot always conclude that weak stationarity of $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ implies weak stationarity of $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ .

— Dilip Sarwate
source

2

The answer is no. This can be seen by considering a sequence of independent r.vs. $X_i$ with their marginal distribution taken in a parametric family depending on three parameters. To get a generic example, we can consider a distribution which can be re-parameterized by using the first two moments along with the absolute moment $\mathbb{E}[|X|]$ . We can then keep the first two parameters constant while the third $\mathbb{E}[|X_i|]$ depends on $i$ .

As a specific example we can take a discrete distribution with support $\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$ ; the three moments $\mathbb{E}[X]$ , $\mathbb{E}[X^2]$ and $\mathbb{E}[|X|]$ express as linear combinations of the four probabilities $p_k := \text{Pr}\{X = k\}$ . Since the three linear combinations are linearly independent, we can use the three moments to re-parameterize as wanted.

— Yves
source

Vous avez E | X | plutôt que E [| X |].

— Accumulation

I'm not seeing how you can guarantee that the autocovariance is constant.

— Acccumulation

Yes it may be clearer use the second notation, although both are valid.

— Yves

Since the

X_{i}

$X_i$ are independent, so are the

| X_{i} |

$|X_i|$ and their autocovariance hence is zero.

— Yves

2

As several others have shown, weak stationarity does not necessarily remain when you take the absolute value of the time-series. The reason for this is that taking the absolute value of each element of the time-series can change the mean and variance in a non-uniform way, due to differences in the underlying distributions of the values. Although weak stationarity does not transfer over in this way, it is worth nothing that strong stationarity does remain under the absolute-value transformation.

— Ben - Reinstate Monica
source