Dessinez des entiers indépendamment et uniformément au hasard de 1 à utilisant juste d6?

Je souhaite dessiner des entiers de 1 à un spécifique en lançant un certain nombre de dés à six faces justes (d6). Une bonne réponse expliquera pourquoi sa méthode produit des entiers uniformes et indépendants .$N$

À titre d'exemple illustratif, il serait utile d'expliquer comment une solution fonctionne pour le cas de .$N=150$

De plus, je souhaite que la procédure soit la plus efficace possible: lancer le moins de d6 en moyenne pour chaque numéro généré.

Les conversions du sénaire au décimal sont autorisées.

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Cette question a été inspirée par ce fil Meta .

L'ensemble de résultats identifiables distincts dans rouleaux indépendants d'une matrice avec faces a éléments. Lorsque le dé est juste, cela signifie que chaque résultat d'un lancer a une probabilité et l'indépendance signifie que chacun de ces résultats aura donc une probabilité c'est-à-dire qu'ils ont une distribution uniforme$\Omega(d,n)$$n$$d=6$$d^n$$1/d$$(1/d)^n:$$\mathbb{P}_{d,n}.$

Supposons que vous ayez mis au point une procédure qui détermine soit résultats d'un dé côté , c'est-à-dire un élément de soit signale un échec (ce qui signifie que vous devrez répéter pour obtenir un résultat). C'est,$t$$m$$c (=150)$$\Omega(c,m)$

$$t:\Omega(d,n)\to\Omega(c,m)\cup\{\text{Failure}\}.$$

Soit la probabilité que entraîne un échec et notons que est un multiple entier de disons$F$$t$$F$$d^{-n},$

$$F = \Pr(t(\omega)=\text{Failure}) = N_F\, d^{-n}.$$

(Pour référence future, notez que le nombre attendu de fois que doit être appelé avant de ne pas échouer est )$t$$1/(1-F).$

L'exigence selon laquelle ces résultats dans soient uniformes et indépendant conditionnel à ne pas signaler des moyens de défaillance qui préserve la probabilité dans le sens que pour chaque événement$\Omega(c,m)$t t A ⊂ Ω ( c , m ) ,$t$$t$$\mathcal{A}\subset\Omega(c,m),$

$$\frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) \tag{1}$$

où

$$t^{*}\left(\mathcal A\right) = \{\omega\in\Omega\mid t(\omega)\in\mathcal{A}\}$$

est l'ensemble des jets de dés que la procédure assigne à l'événement$t$$\mathcal A.$

Considérons un événement atomique , qui doit avoir la probabilitéSoit (les jets de dés associés à ) ont éléments. devient$\mathcal A = \{\eta\}\subset\Omega(c,m)$$c^{-m}.$$t^{*}\left(\mathcal A\right)$$\eta$$N_\eta$$(1)$

$$\frac{N_\eta d^{-n}}{1 - N_F d^{-n}} = \frac{\mathbb{P}_{d,n}\left(t^{*}\mathcal{A}\right)}{1-F}= \mathbb{P}_{c,m}\left(\mathcal{A}\right) = c^{-m}.\tag{2}$$

Il est immédiat que les sont tous égaux à un entier$N_\eta$$N.$ Il ne reste plus qu'à trouver les procédures les plus efficaces Le nombre attendu de non-échecs par lancer du dé face est de$t.$$c$

$$\frac{1}{m}\left(1 - F\right).$$

Il y a deux implications immédiates et évidentes. La première est que si nous pouvons maintenir petit à mesure que devient grand, alors l'effet de signaler une défaillance est asymptotiquement nul. L'autre est que pour tout donné (le nombre de rouleaux de la matrice face à simuler), nous voulons rendre aussi petit que possible.$F$$m$$m$$c$$F$

Examinons de plus près en effaçant les dénominateurs:$(2)$

$$N c^m = d^n - N_F \gt 0.$$

Cela rend évident que dans un contexte donné (déterminé par ), est rendu aussi petit que possible en faisant égal le plus grand multiple de qui est inférieur ou égal à Nous pouvons écrire ceci en termes de la plus grande fonction entière (ou "étage") comme$c,d,n,m$$F$$d^n-N_F$$c^m$$d^n.$$\lfloor*\rfloor$

$$N = \lfloor \frac{d^n}{c^m} \rfloor.$$

Enfin, il est clair que doit être aussi petit que possible pour une efficacité maximale, car il mesure la redondance en . Plus précisément, le nombre prévu de rouleaux de la à flancs matrice nécessaire pour produire un rouleau de à flancs Die$N$t d c$t$$d$$c$

$$N \times \frac{n}{m} \times \frac{1}{1-F}.$$

Ainsi, notre recherche de procédures à haute efficacité devrait se concentrer sur les cas où est égal ou juste à peine supérieur à une puissance$d^n$$c^m.$

L'analyse se termine en montrant que pour et donnés il existe une séquence de multiples pour laquelle cette approche se rapproche de l'efficacité parfaite. Cela revient à trouver pour lequel approche dans la limite (garantissant automatiquement ). Une telle séquence est obtenue en prenant et en déterminant$d$$c,$$(n,m)$$(n,m)$$d^n/c^m \ge 1$$N=1$$F\to 0$$n=1,2,3,\ldots$

$$m = \lfloor \frac{n\log d}{\log c} \rfloor.\tag{3}$$

La preuve est simple.

Tout cela signifie que lorsque nous sommes prêts à rouler l'original à flancs mourir un assez grand nombre de fois nous pouvons nous attendre pour simuler presque les résultats d'un à flancs meurent par rouleau . De manière équivalente,$d$$n,$$\log d / \log c = \log_c d$$c$

Il est possible de simuler un grand nombre de rouleaux indépendants d'un à flancs mourir en utilisant un juste à flancs mourir en utilisant une moyenne de lance par résultat où peut être rendu arbitrairement petit en choisissant suffisamment grand.$m$$c$$d$$\log(c)/\log(d) + \epsilon = \log_d(c) + \epsilon$$\epsilon$$m$

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Exemples et algorithmes

Dans la question, et où$d=6$$c=150,$

$$\log_d(c) = \frac{\log(c)}{\log(d)} \approx 2.796489.$$

Ainsi, la meilleure procédure possible nécessitera, en moyenne, au moins rouleaux de a pour simuler chaque résultat.$2.796489$d6d150

L'analyse montre comment procéder. Nous n'avons pas besoin de recourir à la théorie des nombres pour la réaliser: nous pouvons simplement tabuler les puissances et les puissances et les comparer pour trouver où sont proches. Ce calcul de force brute donne paires$d^n=6^n$$c^m=150^m$$c^m \le d^n$$(n,m)$

$$(n,m) \in \{(3,1), (14,5), \ldots\}$$

par exemple, correspondant aux nombres

$$(6^n, 150^m) \in \{(216,150), (78364164096,75937500000), \ldots\}.$$

Dans le premier cas, associerait des résultats de trois rouleaux de a à Échec et les autres résultats seraient chacun associés à un seul résultat de a . $t$$216-150=66$150d6$150$d150

Dans le second cas associerait des résultats des 14 rouleaux d'une à l' échec - environ 3,1% de tous - et par ailleurs serait sortie une séquence de 5 résultats d'un .$t$$78364164096-75937500000$d6d150

Un algorithme simple à mettre en oeuvre$t$ étiquettes des faces de la à flancs mourir avec les numéros et les faces de la à flancs mourir par les numéros Les rouleaux de la première matrice sont interprétées comme un nombre à chiffres dans la base Ceci est converti en un nombre dans la base S'il a au plus chiffres, la séquence des derniers chiffres est la sortie. Sinon, renvoie Failure en s'invoquant récursivement.$d$$0,1,\ldots, d-1$$c$$0,1,\ldots, c-1.$$n$$n$$d.$$c.$$m$$m$$t$

Pour des séquences beaucoup plus longues, vous pouvez trouver des paires appropriées en considérant tous les autres convergents de l'expansion continue des fractions de La théorie des fractions continues montre que ces convergents alternent entre être inférieurs à et supérieurs à lui (en supposant que n'est pas déjà rationnel). Choisissez ceux qui sont inférieurs à$(n,m)$$n/m$$x=\log(c)/\log(d).$$x$$x$$x.$

Dans la question, les premiers de ces convergents sont

$$3, 14/5, 165/59, 797/285, 4301/1538, 89043/31841, 279235/99852, 29036139/10383070 \ldots.$$

Dans le dernier cas, une séquence de 29.036.139 rouleaux d'un d6produira une séquence de 10.383.070 rouleaux d'un d150avec un taux d'échec inférieur à pour une efficacité de indiscernable de la limite asymptotique.$2\times 10^{-8},$$2.79649$

Pour le cas de , un roulement de d6 trois fois crée distinctement résultats.$N=150$$6^3=216$

Le résultat souhaité peut être tabulé de cette manière:

• Enregistrez un d6 trois fois de suite. Cela produit les résultats . Le résultat est uniforme car toutes les valeurs de sont également probables (les dés sont justes et nous traitons chaque jet comme distinct).$a,b,c$$a,b,c$
• Soustrayez 1 de chaque.
• Il s'agit d'un nombre sénaire: chaque chiffre (valeur de position) passe de 0 à 5 par puissances de 6, vous pouvez donc écrire le nombre en décimal en utilisant $$(a-1) \times 6^2 + (b-1) \times 6^1 + (c-1)\times 6^0$$
• Ajoutez 1.
• Si le résultat dépasse 150, jetez-le et relancez.

La probabilité de conserver un résultat est . Tous les jets sont indépendants, et nous répétons la procédure jusqu'à un "succès" (un résultat en ) donc le nombre de tentatives pour générer 1 tirage entre 1 et 150 est distribué comme une variable aléatoire géométrique, qui a l'attente . Par conséquent, l'utilisation de cette méthode pour générer 1 tirage nécessite de lancer lancers de dés en moyenne (car chaque tentative lance 3 dés).$p=\frac{150}{216}=\frac{25}{36}$$1,2,\dots,150$$p^{-1}=\frac{36}{25}$$\frac{36}{25}\times 3 =4.32$

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Nous remercions @whuber de l'avoir suggéré dans le chat.

Voici une alternative encore plus simple à la réponse de Sycorax pour le cas où . Puisque vous pouvez effectuer la procédure suivante:$N=150$$150 = 5 \times 5 \times 6$

Génération d'un nombre aléatoire uniforme de 1 à 150:

• Faites trois rouleaux ordonnés de 1D6 et les .$R_1, R_2, R_3$
• Si l'un des deux premiers rouleaux est un six, relancez-le jusqu'à ce qu'il ne soit pas 6.
• Le nombre est un nombre uniforme utilisant la notation positionnelle avec un radix de 5-5-6. Ainsi, vous pouvez calculer le nombre souhaité comme: $(R_1, R_2, R_3)$ $$X = 30 \cdot (R_1-1) + 6 \cdot (R_2-1) + (R_3-1) + 1.$$

Cette méthode peut être généralisée à un plus grand , mais elle devient un peu plus gênante lorsque la valeur a un ou plusieurs facteurs premiers supérieurs à .$N$$6$

À titre d'illustration d'un algorithme pour choisir uniformément entre valeurs à l'aide de dés à six faces, essayez ceci qui utilise chaque lancer pour multiplier les valeurs disponibles par et rendre chacune des nouvelles valeurs également probable:$150$$6$

• Après lancer, vous avez possibilité, pas assez pour distinguer valeurs$0$$1$$150$
• Après rouleau, vous avez possibilités, pas assez pour distinguer valeurs$1$$6$$150$
• Après rouleaux, vous avez possibilités, pas assez pour distinguer valeurs$2$$36$$150$
• Après rouleaux, vous avez possibilités, assez pour distinguer valeurs mais avec valeurs restantes; la probabilité que vous vous arrêtiez maintenant est$3$$216$$150$$66$$\frac{150}{216}$
• Si vous ne vous êtes pas arrêté, alors après rouleaux, vous avez possibilités restantes, assez pour distinguer valeurs de deux manières mais avec valeurs restantes; la probabilité que vous vous arrêtiez maintenant est$4$$396$$150$$96$$\frac{300}{1296}$
• Si vous ne vous êtes pas arrêté, alors après rouleaux, vous avez possibilités restantes, assez pour distinguer valeurs de trois manières mais avec valeurs restantes; la probabilité que vous vous arrêtiez maintenant est$5$$576$$150$$96$$\frac{450}{7776}$
• Si vous ne vous êtes pas arrêté, alors après rouleaux, vous avez possibilités restantes, assez pour distinguer valeurs de cinq manières mais avec valeurs restantes; la probabilité que vous vous arrêtiez maintenant est$6$$756$$150$$6$$\frac{750}{46656}$

Si vous êtes sur l'une des valeurs restantes après rouleaux, vous êtes dans une situation similaire à la position après rouleau. Vous pouvez donc continuer de la même manière: la probabilité que vous vous arrêtiez après lancers est , après lancers est etc.$6$$6$$1$$7$$\frac{0}{279936}$$8$$\frac{150}{1679616}$

Ajoutez-les et vous constaterez que le nombre attendu de rouleaux nécessaires est d'environ . Il fournit une sélection uniforme parmi les , car vous ne sélectionnez qu'une valeur à un moment où vous pouvez sélectionner chacun des avec une probabilité égale$3.39614$$150$$150$

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Sycorax a demandé dans les commentaires un algorithme plus explicite

• Tout d'abord, je travaillerai en base avec$6$$150_{10}=410_6$
• Deuxièmement, plutôt que les valeurs cibles à , je soustrais une valeur pour que les valeurs cibles soient de à$1_6$$410_6$$0_6$$409_6$
• Troisièmement, chaque dé doit avoir les valeurs à , et lancer un dé implique d'ajouter un chiffre de base sur le côté droit du nombre généré existant. Les nombres générés peuvent avoir des zéros non significatifs, et leur nombre de chiffres est le nombre de rouleaux jusqu'à présent$0_6$$5_6$$6$

L'algorithme est des jets de dés successifs:

• Lancez les trois premiers dés pour générer un nombre entre et . Puisque vous prenez la valeur générée (qui est aussi son reste sur division par ) si la valeur générée est strictement inférieure à et arrêtez;$000_6$$555_6$$1000_6 \div 410_6 = 1_6 \text{ remainder } 150_6$$410_6$$1000_6-150_6=410_6$

• Si vous continuez, lancez le quatrième dé pour avoir maintenant généré un nombre entre et . Puisque vous prenez le reste de la valeur générée sur division par si la valeur générée est strictement inférieure à et arrêtez;$4100_6$$5555_6$$10000_6 \div 410_6 = 12_6 \text{ remainder } 240_6$$410_6$$10000_6-240_6=5320_6$

• Si vous continuez, lancez le cinquième dé pour avoir maintenant généré un nombre entre et . Puisque vous prenez le reste de la valeur générée sur division par si la valeur générée est strictement inférieure à et arrêtez;$53200_6$$55555_6$$100000_6 \div 410_6 = 123_6 \text{ remainder } 330_6$$410_6$$100000_6-330_6=55230_6$

• Si vous continuez, lancez le sixième dé pour avoir maintenant généré un nombre entre et . Depuis vous prenez le reste de la valeur générée sur division par si la valeur générée est strictement inférieure à et arrêtez;$552300_6$$555555_6$$1000000_6 \div 410_6 = 1235_6 \text{ remainder } 10_6$$410_6$$1000000_6-10_6=555550_6$

• etc.