Quand et impliquent-ils ?

La question:

$X_n\stackrel{d}{\rightarrow}X$ et $Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}Y \stackrel{?}{\implies} X_n+Y_n\stackrel{d}{\rightarrow}X+Y$

Je sais que cela ne tient pas en général; Le théorème de Slutsky ne s'applique que lorsqu'une ou les deux convergences sont probables.

Cependant, y at - il des cas où il ne cale?

Par exemple, si les séquences et sont indépendantes. $X_n$ $Y_n$

— mai
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Réponses:

En formalisant la réponse @Ben, l'indépendance est presque une condition suffisante, car nous savons que la fonction caractéristique de la somme de deux RV indépendants est le produit de leurs fonctions caractéristiques marginales. Soit . Sous l'indépendance de et ,

Z_{n} = X_{n} + Y_{n}

$Z_n = X_n + Y_n$

X_{n}

$X_n$

Y_{n}

$Y_n$

ϕ_{Z_{n}} (t) = ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) = \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

Donc

lim ϕ_{Z_{n}} (t) = lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)]

$\lim \phi_{Z_n}(t) =\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big]$

et nous avons (puisque nous supposons que et convergent) $X_n$ $Y_n$

lim [ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)] = lim ϕ_{X_{n}} (t) \cdot lim ϕ_{Y_{n}} (t) = ϕ_{X} (t) \cdot ϕ_{Y} (t)

$\lim \Big [\phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)\Big] = \lim \phi_{X_n}(t)\cdot \lim \phi_{Y_n}(t) = \phi_{X}(t)\cdot \phi_{Y}(t)$

qui est la fonction caractéristique de ... si sont indépendants. Et ils seront indépendants si l' un des deux a une fonction de distribution continue ( voir cet article ). C'est la condition requise en plus de l'indépendance des séquences, pour que l'indépendance soit préservée à la limite. $X+Y$ $X+Y$

Sans indépendance, nous aurions

ϕ_{Z_{n}} (t) \neq ϕ_{X_{n}} (t) ϕ_{Y_{n}} (t)

$\phi_{Z_n}(t) \neq \phi_{X_n}(t)\phi_{Y_n}(t)$

et aucune affirmation générale ne peut être faite sur la limite.

— Alecos Papadopoulos
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Excellente réponse (+1). Je pense qu'avec cette méthode, il convient également de noter que l'hypothèse la plus faible (indépendance asymptotique) va directement à votre deuxième étape et vous donne donc également le résultat . Cela montre que l'indépendance asymptotique est suffisante pour la propriété souhaitée.

lim ϕ_{Z_{n}} = lim ϕ_{X_{n}} ϕ_{Y_{n}}

$\lim \phi_{Z_n} = \lim \phi_{X_n} \phi_{Y_n}$

— Ben - Rétablir Monica

Le théorème de Cramer-Wold donne une condition nécessaire et suffisante:

Soit une séquence de variables aléatoires évaluées parEnsuite, $\{z_n\}$ $R^K$

z_{n} \to_{d} z ⟺ λ^{'} z_{n} \to_{d} λ^{'} z \forall λ \in R^{K} ∖ {0}

$z_n \to_d z\;\Longleftrightarrow\;\lambda'z_n\to_d \lambda'z\quad\forall\quad \lambda\in R^K\backslash\{0\}$

Pour donner un exemple, supposons et définissons ainsi que . Nous avons alors trivialement et, en raison de la symétrie de la distribution normale standard, que Cependant, ne converge pas dans la distribution, car Ceci est une application de la Appareil Cramer-Wold pour . $U\sim N(0,1)$ $W_n:=U$ $V_n:=(-1)^nU$

W_{n} \to_{d} U

$W_n\to_d U$

V_{n} \to_{d} U .

$V_n\to_d U.$

W_{n} + V_{n}

$W_n+V_n$

W_{n} + V_{n} = {\begin{cases} 2 U \sim N (0, 4) & for n even \\ 0 & for n odd \end{cases}

$W_n+V_n=\begin{cases}2U\sim N(0,4)&\text{for}\;n\;\text{even}\\ 0&\text{for}\;n\;\text{odd}\end{cases}$

λ = (1, 1)^{'}

$\lambda=(1,\;1)'$

— Christoph Hanck
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Oui, l'indépendance est suffisante: les conditions antérieures concernent ici la convergence dans la distribution des distributions marginales de $\{ X_n \}$ et $\{ Y_n \}$ . La raison pour laquelle l'implication ne tient pas généralement est qu'il n'y a rien dans les conditions antécédentes qui traite de la dépendance statistique entre les éléments des deux séquences. Si vous deviez imposer l'indépendance des séquences, cela suffirait à assurer la convergence dans la distribution de la somme.

( Alecos a ajouté une excellente réponse ci-dessous qui prouve ce résultat en utilisant des fonctions caractéristiques. L'indépendance asymptotique est également suffisante pour cette implication, car la même décomposition limitante des fonctions caractéristiques se produit.)

— Ben - Réintègre Monica
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L'indépendance des séquences peut ne pas être suffisante. Vous avez également besoin de l'indépendance de la limitation

X

$X$ et

Y

$Y$ . Si les séquences sont indépendantes mais

X = - Y

$X = -Y$ vous êtes cuit.

— gars

La conclusion que

φ_{X} \cdot φ_{Y}

$\varphi_X \cdot \varphi_Y$ est le cdf de

X + Y

$X + Y$ Dans @Alecos, la réponse repose sur le fait que

X

$X$ et

Y

$Y$ sont indépendants. Il faut donc

X

$X$ et

Y

$Y$ être indépendant, si le mode de convergence est

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$ . Supposer

X_{n}

$X_n$ et

Y_{n}

$Y_n$ sont iid

N (0, 1)

$N(0,1)$ , puis

X_{n} \overset{d}{\to} X_{1}

$X_n \stackrel d \to X_1$ et

Y_{n} \overset{d}{\to} - X_{1}

$Y_n \stackrel d \to -X_1$ , mais

X_{n} + Y_{n} \overset{d}{\to} N (0, 2)

$X_n + Y_n \stackrel d \to N(0,2)$ tandis que

X + Y = 0

$X + Y = 0$ .

— gars

@Alecos Si vous acceptez qu'ils convergent vers un

N (0, 1)

$N(0,1)$ alors vous convenez trivialement qu'ils convergent tous les deux dans la distribution vers

X_{1}

$X_1$ par définition. Ils convergent également dans la distribution vers

- X_{1}

$-X_1$ et à tous les autres

N (0, 1)

$N(0,1)$ Variables aléatoires. La convergence dans la distribution n'est pas comme les autres modes de convergence, vous pouvez converger dans la distribution vers de nombreuses variables aléatoires différentes; la variable aléatoire limite n'a même pas besoin d'être définie sur le même espace de probabilité. La seule chose unique est la distribution marginale .

— gars

@Alecos a dit autrement, notez que la distribution de

X + Y

$X+Y$ n'est même pas bien défini simplement en parlant des séquences étant indépendantes. Vous pouvez avoir

X_{n} \to X

$X_n \to X$ et

Y_{n} \to Y

$Y_n \to Y$ sans faire aucune hypothèse sur la structure de dépendance de

X

$X$ et

Y

$Y$ , même si vous faites de fortes hypothèses sur la dépendance de

X_{n}

$X_n$ et

Y_{n}

$Y_n$ . Tout ce que nous avons fait, c'est épingler les marginaux de

X

$X$ et

Y

$Y$ .

— mec

Oh; Je pense que je comprends. Vous dites que j'ai besoin d'une condition supplémentaire sur l'indépendance de

X

$X$ et

Y

$Y$ pour ma déclaration d'origine dans la question de tenir. Veuillez me faire savoir si je comprends bien.

— mai