Probabilité de

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Supposons que et sont des variables aléatoires géométriques indépendantes avec le paramètre . Quelle est la probabilité que ? $X_1$ $X_2$ $p$ $X_1 \geq X_2$

Je suis confus à propos de cette question car on ne nous dit rien sur et part leur géométrie. Ne serait-ce pas parce que et peuvent être n'importe quoi dans la plage? $X_1$ $X_2$ $50\%$ $X_1$ $X_2$

EDIT: Nouvelle tentative

$P(X1 ≥ X2) = P(X1 > X2) + P(X1 = X2)$

$P(X1 = X2)$ = = $\sum_{x}$ $(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}p$ $\frac{p}{2-p}$

$P(X1 > X2)$ = et $P(X1 < X2)$ $P(X1 < X2) + P(X1 > X2) + P(X1 = X2) = 1$

Par conséquent, = = Ajout de à cela, je reçois = $P(X1 > X2)$ $\frac{1-P(X1 = X2)}{2}$ $\frac{1-p}{2-p}$
$P(X1 = X2)=\frac{p}{2-p}$ $P(X1 ≥ X2)$ $\frac{1}{2-p}$

Est-ce correct?

self-study random-variable geometric-distribution

— IrCa
source

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Veuillez ajouter la balise «self-study».

— StubbornAtom

1

En fait, parce que X1et X2sont des variables discrètes, l'égalité rend les choses un peu moins évidentes.

— usεr11852

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Ce ne peut pas être car $50\%$ $P(X_1=X_2)>0$

Une approche:

Considérez les trois événements et , qui partitionnent l'espace échantillon. $P(X_1>X_2), P(X_2>X_1)$ $P(X_1=X_2)$

Il y a un lien évident entre les deux premiers. Écrivez une expression pour la troisième et simplifiez. Résolvez donc la question.

— Glen_b -Reinstate Monica
source

J'ai édité mon message avec ma nouvelle réponse. Pourriez-vous jeter un œil et voir si c'est correct?

— IrCa

1

Oui, vos réponses semblent correctes. Une méthode alternative (utilisant une idée similaire) serait de noter que (encore une fois, en exploitant la symétrie / de et ).

P (X_{1} \geq X_{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} P (X_{1} = X_{2})

$P(X_1\geq X_2)=\frac12 + \frac12 P(X_1=X_2)$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

— Glen_b -Reinstate Monica

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Votre réponse, suivant la suggestion de Glen, est correcte. Une autre façon, moins élégante, est juste de conditionner:

\begin{aligned} Pr {X_{1} \geq X_{2}} & = \sum_{k = 0}^{\infty} Pr {X_{1} \geq X_{2} ∣ X_{2} = k} Pr {X_{2} = k} \\ = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{ℓ = k}^{\infty} Pr {X_{1} = ℓ} Pr {X_{2} = k} . \end{aligned}

$\begin{align} \Pr\{X_1\geq X_2\} &= \sum_{k=0}^\infty \Pr\{X_1\geq X_2\mid X_2=k\} \Pr\{X_2=k\} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=k}^\infty \Pr\{X_1=\ell\}\Pr\{X_2=k\}. \end{align}$

Cela vous donnera le même , après avoir manipulé les deux séries géométriques. La voie de Glen est meilleure. $1/(2-p)$

— Zen
source

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note - votre façon de faire est meilleure pour appliquer de nouveaux problèmes, je pense. Parce qu'il est basé sur les premiers principes. L'astuce / intuiton de la réponse de glen_b survient généralement après que le problème a été résolu à votre façon

— probabilités

3

@probabilityislogic Je partage votre enthousiasme pour les dérivations des "premiers principes". Cependant, pour un mathématicien moderne, rechercher et exploiter la symétrie est encore plus fondamental que les premiers principes (définitions) auxquels vous vous référez: nous pourrions l'appeler un méta - principe des mathématiques. C'est bien plus qu'un simple "truc".

— whuber