Valeur attendue d'un logarithme naturel

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Je sais que avec constantes, donc étant donné , c'est facile à résoudre. Je sais aussi que vous ne pouvez pas l'appliquer quand c'est une fonction non linéaire, comme dans ce cas , et pour résoudre cela, je dois faire une approximation avec Taylor. Donc ma question est de savoir comment résoudre ?? puis-je aussi me rapprocher de Taylor? $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— Mat
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4

Oui, vous pouvez appliquer la méthode delta dans ce cas.

— Michael R. Chernick

5

Vous devriez également vous pencher sur l'inégalité de Jensen.

— kjetil b halvorsen

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Dans le journal

YW Teh, D. Newman et M. Welling (2006), A Collapsed Variational Bayesian Inference Algorithm for Latent Dirichlet Allocation , NIPS 2006 , 1353–1360.

une expansion de Taylor de second ordre autour de est utilisée pour approximer : $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [bûche (X)] \approx bûche (E [X]) - \frac{V [X]}{2 E [X]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

Cette approximation semble fonctionner assez bien pour leur application.

Le modifier légèrement pour l'adapter à la question présente donne, par linéarité de l'espérance,

E [bûche (1 + X)] \approx bûche (1 + E [X]) - \frac{V [X]}{2 (1 + E [X])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

Cependant, il peut arriver que le côté gauche ou le côté droit n'existe pas tandis que l'autre existe, et donc une certaine prudence doit être prise lors de l'utilisation de cette approximation.

— user1149913
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3

Fait intéressant, cela peut être utilisé pour obtenir une approximation de la fonction digamma.

— probabilityislogic

6

De plus, si vous n'avez pas besoin d'une expression exacte pour , la limite donnée par l'inégalité de Jensen est souvent assez bonne: $\text{E}[\log(X + 1)]$

bûche [E (X) + 1] \geq E [bûche (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
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X

$X$

\geq

$\ge$

\log

$\log$

5

$X$ $f_X$ $g$

E [g (X)] = \int g (X) ré P = \int_{- \infty}^{\infty} g (X) F_{X} (X) ré X,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— Zen
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1

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

2

g (x) = x

$g(x)=x$

2

@prob: Non, vous n'avez pas besoin de cette condition dans votre premier commentaire, et même dans une situation qui peut être très pertinente pour cette question! (+1 à votre deuxième commentaire, cependant, ce que je voulais également commenter.)

— Cardinal

2

@prob: C'est suffisant , mais si vous comparez votre premier commentaire à votre second, vous verrez pourquoi ce n'est pas nécessaire ! :-)

— Cardinal

4

Il existe deux approches habituelles:

$X$ $\ln(1+X)$ $\ln(1+x) f_{X}(x)$ $x$
Comme vous le suggérez, si vous connaissez les premiers instants, vous pouvez calculer une approximation de Taylor.

— Glen_b -Reinstate Monica
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