Distribution normale standard sur un sous-espace

Soit un espace vectoriel avec . Une distribution normale standard sur est la loi d'un vecteur aléatoire prenant des valeurs dans et telles que les coordonnées de dans une ( dans n'importe quelle) base orthonormée de est un vecteur aléatoire composé de distributions normales standard indépendantes . $U \subset \mathbb{R}^n$ $\dim(U)=d$ $U$ $X=(X_1, \ldots, X_n)$ $U$ $X$ $\iff$ $U$ $d$ ${\cal N}(0, 1)$

En lisant cette question, je me suis posé la question suivante. Soit une distribution normale standard sur . Est-il vrai que la distribution conditionnelle de étant donné est la distribution normale standard sur ? $Y=(Y_1, \ldots, Y_n)$ $\mathbb{R}^n$ $Y$ $Y \in U$ $U$

La norme au carré de a une distribution chi carré . Ainsi, si cela est vrai, cela expliquerait la prétention de @ Argha. ${\Vert X \Vert}^2$ $X$ $\chi^2_d$

Désolé si le LaTeX est mal tapé, je ne vois pas le rendu du LaTeX :(

EDIT 01/10/2012: Ok je vois. Écrivez $y=u+v$ la décompostion orthogonale de $y$ dans $U\oplus U^\perp$ . Alors

Pr (Y \in d y \cap Y \in U) = Pr (P_{U} Y \in d u)

$\Pr(Y\in \mathrm{d}y \cap Y \in U)=\Pr(P_U Y \in \mathrm{d}u)$ . Cela montre que

(Y ∣ Y \in U) \sim P_{U} Y

$(Y \mid Y \in U) \sim P_U Y$ . C'est un peu heuristique mais moralement correct. Enfin , il ressort de la définition que

P_{U} Y

$P_U Y$ est standard normal

U

$U$ .

normal-distribution conditioning

— Stéphane Laurent
source

N'est-ce pas terriblement évident lorsque vous notez qu'une base orthonormée pour peut toujours être construite en étendant n'importe quelle base orthonormée pour ? (Une preuve: utilisez Gram-Schmidt sur n'importe quelle extension, qu'elle soit orthonormée ou non.) Sur cette base, le PDF est séparable et a fortiori est standard normal sur , QED.

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

U

$U$

U

$U$

— whuber

@whuber Pouvez-vous développer une réponse? Comment dérivez-vous la distribution conditionnelle?

— Stéphane Laurent

Il suffit de le regarder ! Lorsqu'un PDF absolument continu forme , alors (a) et sont indépendants et (b) et sont les distributions conditionnelles .

f (x, y)

$f(x,y)$

f_{x} (x) f_{y} (y)

$f_x(x)f_y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

f_{x}

$f_x$

f_{y}

$f_y$

— whuber

@whuber Je rentre tout juste du travail. J'y penserai plus tard. Merci. Bien sûr, je pense que c'est évident mais je suis fatigué.

— Stéphane Laurent

Oui. Vous avez que est un sous-espace de . Soit et la matrice de projection orthogonale sur , de sorte que soit symétrique et idempotent. Alors . Il s'agit d'une distribution normale singulière, qui sur le sous-espace est la normale standard sur ce sous-espace. Comme une distribution unique, il n'a pas une densité par rapport à la mesure de volume dans , mais il a une densité par rapport à la (faible-dim) mesure du volume sur . $U$ $\mathbb R^n$ $Y \sim \text{N}(0,I)$ $P$ $U$ $P$ $PY \sim \text{N}(P0,PIP^T) = \text{N}(0,P)$ $U$ $\mathbb R^n$ $U$

— kjetil b halvorsen
source

Je ne vois pas où prouvez-vous que a la même loi que conditionnelle à ?

P Y

$PY$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— Stéphane Laurent

A noter qu'abstraitement, la probabilité conditionnelle (vraiment attente, obtenir un espace linéaire ...) est une projection! Ainsi , le conditionnement sur lorsque est un sous - espace linéaire, est la même que sur la saillie .

Y \in U

$Y \in U$

U

$U$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Désolé mais votre réclamation n'a aucun sens.

— Stéphane Laurent

Telle est l'intuition, une preuve doit peut-être être différente. Je suis hors du temps, mais notez que vous pouvez spécifier la distribution normale à plusieurs variables en spécifiant la distribution (normale) de toutes les combinaisons linéaires des composants de . Lorsque la matrice de covariance est la projection , pour choisir comme une base orthonormale de . peut être écrit . Choisissez comme coefficient pour la combinaison linéaire de , vous verrez que la variance est de un. Choisissez pour le coefficient un vecteur de longueur un orthogonal à , vous verrez que la variance est nulle.

Y

$Y$

P

$P$

u_{1}, \dots, u_{k}

$u_1, \dots, u_k$

U

$U$

P

$P$

P = \sum u_{i} u_{i}^{T}

$P=\sum u_i u_i^T$

u_{i}

$u_i$

U

$U$

— kjetil b halvorsen

Ainsi , la distribution de coïncide avec la norme normale en , qui est la distribution conditionnelle de donné .

P Y

$P Y$

U

$U$

Y

$Y$

Y \in U

$Y \in U$

— kjetil b halvorsen