Comment prouver qu'il n'y a pas d'espace d'entité de dimension finie pour le noyau RBF gaussien?

Comment prouver que pour la fonction de base radiale il n'y a pasespace caractéristique de dimension finieHtelle sorte que pendantcertainΦ:Rn→Hnous avonsk(x,y)=⟨Φ(x),Φ($k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$$H$$\Phi: \text{R}^n \to H$ ?$k(x, y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Le théorème de Moore-Aronszajn garantit qu'un noyau défini positif symétrique est associé à un espace Hilbert de noyau de reproduction unique. (Notez que bien que le RKHS soit unique, le mappage lui-même ne l'est pas.)

Par conséquent, vous pouvez répondre à votre question en présentant un RKHS de dimension infinie correspondant au noyau gaussien (ou RBF). Vous pouvez trouver une étude approfondie de ceci dans " Une description explicite des espaces de Hilbert à noyau reproducteur des noyaux gaussiens RBF ", Steinwart et al.

Supposons que le noyau gaussien RBF $k(x, y)$ est défini sur le domaine $X \times X$ où $X$contient un nombre infini de vecteurs. On peut prouver ( noyaux gaussiens, pourquoi sont-ils complets? ) Que pour tout ensemble de vecteurs distincts$x_1, ..., x_m \in X$ matrice $(k(x_i, x_j))_{m \times m}$ n'est pas singulier, ce qui signifie que les vecteurs $\mathrm\Phi(x_1), ..., \mathrm\Phi(x_m)$sont linéairement indépendants. Ainsi, un espace caractéristique$H$ pour le noyau $k$ ne peut pas avoir un nombre fini de dimensions.