Les produits des VR échangeables sont-ils échangeables?

8

Suppose que

X = (X_{1}, . . ., X_{n}), : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$X=(X_1, ..., X_n),: (\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$ et

Oui = ({Oui}_{1}, . . ., {Oui}_{n}) : (Ω, UNE, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$Y=(Y_1, ..., Y_n):(\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$ sont deux variables aléatoires qui ont des RV binaires comme composants (par conséquent

X_{i} (ω) \in {0, 1}, Y_{i} (ω) \in {0, 1}

$X_i(\omega)\in\{0,1\}, Y_i(\omega) \in \{0,1\}$ ) et les deux (

X

$X$ et

Y

$Y$ ) sont échangeables, c.-à-d.

P ((X_{1}, . . ., X_{n}) = (x_{1}, . . ., x_{n})) = P ((X_{σ (1)}, . . ., X_{σ (n)}) = (x_{1}, . . ., x_{n}))

$P((X_1, ..., X_n)=(x_1, ..., x_n))= P((X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)})=(x_1, ..., x_n))$

et

P ((Y_{1}, . . ., Y_{n}) = (y_{1}, . . ., y_{n})) = P ((Y_{σ (1)}, . . ., Y_{σ (n)}) = (y_{1}, . . ., y_{n}))

$P((Y_1, ..., Y_n)=(y_1, ..., y_n))= P((Y_{\sigma(1)}, ..., Y_{\sigma(n)})=(y_1, ..., y_n))$ pour toutes permutations

σ

$\sigma$ .

Ma question est de savoir si elle $Z=(X_1Y_1, ..., X_nY_n)$ est échangeable?

Ou formulé différemment quelles hypothèses sont nécessaires pour $Z$ être échangeable?

bayesian exchangeability

— Sébastien
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Il semble qu'il y ait au moins une erreur typographique dans votre question: voulez-vous vraiment dire que le dernier composant de

Z

$Z$ est "

Y_{n} Y_{n}

$Y_nY_n$ ? "La notation est opaque: prétendez-vous

X

$X$ est une variable aléatoire avec des composants binaires et

Y

$Y$ est une variable aléatoire dont les composants sont des fonctions binaires de binaire

n

$n$ -vecteurs? Lorsque vous énoncez un problème de manière abstraite, (1) il est crucial que tout soit parfaitement correct et (2) vous devriez plutôt le poster sur le site de mathématiques.

— whuber

Merci de l'avoir signalé. Je vais clarifier la notation

— Sebastian

6

Le produit n'a pas besoin d'être échangeable. Le contre-exemple suivant montre ce qui peut mal tourner et pourquoi.

Nous préciserons les distributions conjointes $P_1$ de $(X_1,Y_1)$ et $P_2$ de $(X_2,Y_2)$ et supposons que chacune de ces variables aléatoires bivariées est indépendante. Ainsi, le $X_i$ seront échangeables à condition qu'ils soient distribués de manière identique, et de même pour $Y_i.$ Toutes les variables seront des variables de Bernoulli: par définition, leurs probabilités seront concentrées sur l'ensemble $\{0,1\}.$

Laisser $P_1(0,0) = P_1(1,1) = 1/2$ et $P_2(x,y)=1/4$ pour $x,y\in\{0,1\}.$

Étant donné que toutes les distributions marginales sont Bernoulli $(1/2),$ l'hypothèse d'échangeabilité marginale est vraie. Mais maintenant, calculez cela $\Pr(X_1Y_1=0) = 1/2$ et $\Pr(X_2Y_2=0)=3/4,$ montrant que les produits ont des distributions différentes (et ne peuvent donc pas être échangés).

Cela montre que la distribution conjointe est importante.

Cependant, les distributions conjointes pourraient différer, mais les produits pourraient être échangeables, donc l'interchangeabilité des variables aléatoires bivariées $(X_i,Y_i)$ , bien qu'il s'agisse d'une condition suffisante pour l'échange des produits $X_iY_i,$ n'est pas une condition nécessaire.

Un exemple en est donné par les variables ternaires avec des valeurs $\{-1,0,1\}.$ Par exemple, considérez les probabilités suivantes:

P_{1} ((- 1, y)) = 1 / 6 (y \in {- 1, 0, 1}); P_{1} ((1, - 1)) = P_{1} ((1, 1)) = 1 / 4

$P_1((-1,y)) = 1/6\quad(y\in\{-1,0,1\});\quad P_1((1,-1)) = P_1((1,1))=1/4$

et

P_{2} ((x, y)) = P_{1} ((- x, y)) .

$P_2((x,y)) = P_1((-x,y)).$

Il est simple de vérifier que les distributions marginales des $X_i$ attribuer des probabilités égales de $1/2$ à $\pm 1,$ les distributions marginales du $Y_i$ avoir des vecteurs de probabilité $(5/12, 1/6, 5/12),$ et que la distribution des $X_iY_i$ est le même que celui du $Y_i.$ Notez que le $(X_i,Y_i)$ ont des distributions différentes, car

P_{1} ((- 1, 0)) = 1 / 6 \neq 0 = P_{2} ((- 1, 0)) .

$P_1((-1,0)) = 1/6 \ne 0 = P_2((-1,0)).$

Ainsi, le $X_i$ sont échangeables, les $Y_i$ sont échangeables, les $X_iY_i$ sont échangeables, mais le $(X_i,Y_i)$ ne sont pas échangeables.

— whuber
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2

Non. Supposons que l'espace d'échantillonnage se compose de trois revenus également probables pour lesquels $X$ prend des valeurs de

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ et pour lequel

Y

$Y$ prend des valeurs de

(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) .

$(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0).$ Then

X_{1}, X_{2}, X_{3}

$X_1,X_2,X_3$ are exchangeable and so are

Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}

$Y_1,Y_2,Y_3$ . But the corresponding values of

Z = (X_{1} Y_{1}, \dots, X_{3} Y_{3})

$Z=(X_1 Y_1,\dots, X_3 Y_3)$ are

(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)

$(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)$ so clearly

Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}

$Z_1,Z_2,Z_3$ are not exchangeable.

— Jarle Tufto
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