Exemple d'une distribution discrète non négative où la moyenne (ou un autre moment) n'existe pas?

Je faisais du travail dans scipy et une conversation a eu lieu avec un membre du groupe de base scipy pour savoir si une variable aléatoire discrète non négative peut avoir un moment indéfini. Je pense qu'il a raison mais n'a pas de preuve à portée de main. Quelqu'un peut-il montrer / prouver cette affirmation? (ou si cette affirmation n'est pas vraie réfutée)

Je n'ai pas d'exemple à portée de main si la variable aléatoire discrète prend en charge mais il semble qu'une version discrétisée de la distribution de Cauchy devrait servir d'exemple pour obtenir un moment indéfini. La condition de non-négativité (peut-être y compris ) est ce qui semble rendre le problème difficile (au moins pour moi).$\mathbb{Z}$$0$

Soit le CDF égal à aux entiers constants par morceaux partout ailleurs, et soumis à tous les critères pour être un CDF. L'attente est$F$$1-1/n$$n=1,2,\ldots,$

$$\int_{0}^\infty (1-F(x))\mathrm{d}x = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

qui diverge. En ce sens, le premier moment (et donc tous les moments supérieurs) est infini. (Voir les remarques à la fin pour plus de détails.)

---

Si vous n'êtes pas à l'aise avec cette notation, notez que pour$n=1,2,3,\ldots,$

$${\Pr}_{F}(n) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1.}$$

Ceci définit une distribution de probabilité puisque chaque terme est positif et

$$\sum_{n=1}^\infty {\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \lim_{n\to \infty} 1 - \frac{1}{n+1} = 1.$$

L'attente est

$$\sum_{n=1}^\infty n\,{\Pr}_{F}(n) = \sum_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} = 1/2 + 1/3 + 1/4 + \cdots$$

qui diverge.

Cette façon d'exprimer la réponse montre clairement que toutes les solutions sont obtenues par des séries aussi divergentes. En effet, si vous souhaitez que la distribution soit prise en charge sur un sous-ensemble des valeurs positives avec les probabilités sommant à l'unité, alors dans l'attente de diverger la série qui l'exprime, à savoir$x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots,$$p_1, p_2, \ldots$

$$(a_n) = (x_n p_n),$$

doit avoir des sommes partielles divergentes.

Inversement, chaque série divergente de nombres non négatifs est associée à de nombreuses distributions positives discrètes ayant des attentes divergentes. $(a_n)$ ( a n ) ( x n ) ( p n ) q n = 2 - n y n = 2 n a n n = 1 , 2 , … . Ω y n Ω = { ω 1 , ω 2 , … , ω i , … } , Ω Par exemple, étant donné vous pouvez appliquer l'algorithme suivant pour déterminer les séquences et . Commencez par définir et pour Définissez comme l'ensemble de tous les qui surviennent de cette manière, indexez ses éléments comme et définissez une distribution de probabilité sur par$(a_n)$$(x_n)$$(p_n)$$q_n = 2^{-n}$$y_n = 2^n a_n$$n=1, 2, \ldots.$$\Omega$$y_n$$\Omega=\{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_i, \ldots\},$$\Omega$

$$\Pr(\omega_i) = \sum_{n \mid y_n = \omega_i}q_n.$$

Cela fonctionne parce que la somme des est égale à la somme des qui est et a au plus un nombre dénombrable d'éléments positifs.$p_n$$q_n,$$1,$$\Omega$

A titre d'exemple, la série diverge évidemment. L'algorithme donne$(a_n) = (1, 1/2, 1, 1/2, \ldots)$

$$y_1 = 2a_1 = 2;\ y_2 = 2^2 a_2 = 2;\ y_3 = 2^3 a_3 = 8; \ldots$$

Ainsi

$$\Omega = \{2, 8, 32, 128, \ldots, 2^{2n+1},\ldots\}$$

est l'ensemble des puissances impaires positives de et$2$

$$p_1 = q_1 + q_2 = 3/4;\ p_2 = q_3 + q_4 = 3/16;\ p_3 = q_5 + q_6 = 3/64; \ldots$$

---

À propos des moments infinis et inexistants

Lorsque toutes les valeurs sont positives, il n'y a pas de moment "indéfini": les moments existent tous, mais ils peuvent être infinis dans le sens d'une somme divergente (ou intégrale), comme le montre le début de cette réponse.

En général, tous les moments sont définis pour des variables aléatoires positives, car la somme ou l'intégrale qui les exprime converge absolument ou elle diverge (est «infinie»). Contrairement à cela, les moments peuvent devenir indéfinis pour les variables qui prennent des valeurs positives et négatives , car - par définition de l'intégrale de Lebesgue - le moment est la différence entre un moment de la partie positive et un moment de la valeur absolue de la partie négative. Si les deux sont infinis, la convergence n'est pas absolue et vous êtes confronté au problème de soustraire un infini d'un infini: cela n'existe pas.

Voici un exemple célèbre: Soit prend la valeur 2 k avec une probabilité 2 - k , pour chaque entier k ≥ 1 . Alors X prend des valeurs dans (un sous-ensemble de) les entiers positifs; la masse totale est ∑ ∞ k = 1 2 - k = 1 , mais son attente est E ( X ) = ∞ ∑ k = 1 2 k P ( X = 2 k ) = $X$$2^k$$2^{-k}$$k\ge1$$X$$\sum_{k=1}^\infty 2^{-k}=1$ Cette variable aléatoireXapparaît dans leparadoxe de Saint-Pétersbourg.

$$E(X) = \sum_{k=1}^\infty 2^k P(X=2^k) = \sum_{k=1}^\infty 1 = \infty.$$ $X$

1. $1<\theta\leq 2$

   $P(X=x|\theta)={{\frac {1}{\zeta (\theta)}}x^{-\theta}}\,,\: x=1,2,...,\:\theta>1$

   $\zeta(\cdot)$

   $\theta=2$

   Une autre distribution avec un comportement de queue similaire est la distribution de Yule-Simon .

2. $0<\alpha\leq 1$

   $P(X=x|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+x)}{x!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm{B} (\alpha +r,\beta +x)}{\mathrm{B} (\alpha ,\beta )}}\,,\:x=0,1,2...\:\alpha,\beta,r > 0$

une version discrétisée de la distribution de Cauchy

$p(n)$$n$$n$$(n-1,n]$$[n,n+1)$$[n-.5,n+.5)$$p(n) =\frac6{(n\pi)^2}$$\frac6{n\pi^2}$

$p(n)$$c$$\frac c {p(n)}$$k$$k$$p(n)$