Existe-t-il des distributions autres que Cauchy pour lesquelles la moyenne arithmétique d'un échantillon suit la même distribution?

Si suit une distribution de Cauchy, alors suit également exactement la même distribution que ; voir ce fil . $X$ $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

Cette propriété a-t-elle un nom?
Y a-t-il d'autres distributions pour lesquelles cela est vrai?

ÉDITER

Une autre façon de poser cette question:

soit une variable aléatoire de densité de probabilité . $X$ $f(x)$

laisser , où désigne l'observation i de . $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

$Y$ lui - même peut être considéré comme une variable aléatoire, sans conditionnement sur des valeurs spécifiques de . $X$

Si suit une distribution de Cauchy, alors la fonction de densité de probabilité de est $X$ $Y$ $f(x)$

Existe-t-il d'autres types de fonctions de densité de probabilité (non triviales *) pour qui donnent à une fonction de densité de probabilité ? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* Le seul exemple trivial auquel je puisse penser est un delta de Dirac. c'est-à-dire pas une variable aléatoire.

— Chechy Levas
source

Votre titre n'a pas beaucoup de sens, car la "valeur attendue d'un échantillon" est un nombre. Voulez-vous plutôt dire la moyenne arithmétique de l'échantillon? La question est également vague: par «distribution», voulez-vous dire une distribution spécifique ou voulez-vous dire - comme le suggère le terme «Cauchy» - une famille de distributions? Ce n'est pas une subtilité mineure: la réponse change complètement selon ce que vous voulez dire. Veuillez modifier votre message pour le clarifier.

— whuber

@whuber, j'ai ajouté une deuxième partie à la question qui, nous l'espérons, resserre l'éventail des interprétations possibles.

— Chechy Levas

Je vous remercie; qui efface la plupart des choses. Cependant, il existe différentes réponses selon que vous fixez ou si vous souhaitez que ce résultat soit valable pour tous les Si c'est le dernier, la condition sur le cf ou le cgf est grave et conduit à une solution prête. Si c'est le premier, il existe potentiellement des solutions supplémentaires.

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

Je pensais à tout mais si quelqu'un veut aussi fournir une analyse sur un fixe , ce serait bienvenu.

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas

Ce n'est pas vraiment une réponse, mais au moins il ne semble pas facile de créer un tel exemple à partir d'une distribution stable. Il faudrait produire un rv dont la fonction caractéristique est la même que celle de sa moyenne.

En général, pour un tirage iid, le cf de la moyenne est

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$ avec le cf d'un seul rv Pour des distributions stables avec le paramètre de localisation zéro, nous avons où La distribution de Cauchy correspond à , , de sorte que effet pour tout paramètre d'échelle .

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$

En général, Pour obtenir , semble nécessaire, donc mais

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
source

Est-il donc juste de dire que d'après votre analyse, Cauchy est la seule solution pour a = 1?

— Chechy Levas

C'est mon impression de ces résultats, mais je suis à peu près sûr qu'il y a des gens plus informés autour des distributions stables.

— Christoph Hanck

Vous n'avez pas besoin d'invoquer la théorie des distributions stables. Soit le cgf, votre équation est pourComme est une fonction paire continue et nulle à l'origine, cela implique immédiatement que le germe de à l'origine est

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

— whuber

Cela devrait-il être la réponse acceptée? Outre la seule façon dont je peux voir pour résoudre ce problème est avec , qui (je pense) est le delta de Dirac.

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$

— Chechy Levas