Pour quel problème ou jeu les solutions optimales de variance et d'écart-type sont-elles adaptées?

Pour une variable aléatoire donnée (ou une population, ou un processus stochastique), l'attente mathématique est la réponse à une question Quelle prévision ponctuelle minimise la perte carrée attendue? . Aussi, c'est la solution optimale à un jeu Devinez la prochaine réalisation d'une variable aléatoire (ou un nouveau tirage d'une population), et je vous punirai par la distance au carré entre la valeur et votre supposition si vous avez une désutilité linéaire en termes de la peine. La médiane est la réponse à une question correspondante en cas de perte absolue et le mode est la réponse en cas de perte «tout ou rien».

Questions: La variance et l'écart-type répondent-ils à des questions similaires? Que sont-ils?

La motivation de cette question provient de l'enseignement des mesures de base de la tendance centrale et de la propagation. Alors que les mesures de tendance centrale peuvent être motivées par des problèmes de théorie de la décision ci-dessus, je me demande comment on pourrait motiver les mesures de propagation.

— Richard Hardy
source

Question très intéressante. Mon approche initiale serait que le "jeu" est qualitativement le même que ce que vous décrivez déjà, sauf que la question attend (sans jeu de mots) que la réponse porte sur une plage de valeurs au lieu d'un point, car diffusé sans un point de la référence est une information plutôt incomplète (sinon dénuée de sens).

— Emil

Notez que la variance est elle-même une attente - si alors .

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b, vous avez raison, et je l'ai compris (j'aurais dû l'inclure dans le texte de la question). "Devinez la différence entre la valeur suivante et l'attente et je vous punirai quadratique" serait le jeu. Est-ce le meilleur qui soit? Ne semble pas très pratique ou très amusant un jeu, à mon humble avis.

— Richard Hardy

Si j'ai compris la question comme prévu, vous avez en tête un cadre dans lequel vous pouvez obtenir des réalisations indépendantes de n'importe quelle variable aléatoire avec n'importe quelle distribution (ayant une variance finie ). Le "jeu" est déterminé par les fonctions et à décrire. Il comprend les étapes et règles suivantes: $X$ $F$ $\sigma^2(F)$ $h$ $\mathcal L$

Votre adversaire ("Nature") révèle $F.$
En réponse, vous produisez un nombre votre "prédiction". $t(F),$

Pour évaluer le résultat du jeu, les calculs suivants sont effectués:

Un échantillon de observations est tiré de $n$ $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ $F.$
Une fonction prédéterminée est appliquée à l'échantillon, produisant un nombre la "statistique". $h$ $h(\mathbf{X}),$
La "fonction de perte" compare votre "prédiction" à la statistique produisant un nombre non négatif $\mathcal{L}$ $t(F)$ $h(\mathbf{X}),$ $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
Le résultat du jeu est la perte attendue (ou "risque")
$R_{(L, h)} (t, F) = E (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

Votre objectif est de répondre au mouvement de la nature en spécifiant des qui minimisent le risque. $t$

Par exemple, dans le jeu avec la fonction et toute perte de la forme pour un nombre positif votre mouvement optimal est choisir comme étant l'espérance de $h(X_1)=X_1$ $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ $\lambda,$ $t(F)$ $F.$

La question qui se pose à nous est la suivante:

Existe-t-il et pour lesquels le mouvement optimal est de choisir pour être la variance ? $\mathcal{L}$ $h$ $t(F)$ $\sigma^2(F)$

On y répond facilement en montrant la variance comme une attente. Une façon consiste à stipuler que et à continuer d'utiliser la perte quadratique En constatant que

h (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$

L (t, h) = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$

E (h (X)) = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

l'exemple nous permet de conclure que ce et ce répondent à la question de la variance. $h$ $\mathcal L$

Qu'en est-il de l'écart-type ? Encore une fois, nous n'avons qu'à présenter cela comme l'attente d'un échantillon statistique. Cependant, ce n'est pas possible, car même lorsque nous limitons à la famille des distributions de Bernoulli nous ne pouvons obtenir que des estimateurs non biaisés des fonctions polynomiales de mais n'est pas une fonction polynomiale sur le domaine (Voir Pour la distribution binomiale, pourquoi n'existe-t-il pas d'estimateur non biaisé pour ? Pour l'argument général sur les distributions binomiales, auquel cette question peut être réduite après la moyenne de $\sigma(F)$ $F$ $(p)$ $p,$ $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ $p\in (0,1).$ $1/p$ $h$ sur toutes les permutations du) $X_i.$

— whuber
source

Merci pour une explication claire de ma question et une réponse tout aussi claire. Auriez-vous également un exemple de qui dépend de tous les points d'échantillonnage, pas seulement de deux?

h

$h$

n

$n$

— Richard Hardy

Il existe une méthode standard pour passer de à : calculer la statistique pour toutes les paires et la moyenne. En effet, cela produit ma caractérisation de la covariance sur stats.stackexchange.com/a/18200/919 . Pour la théorie formelle de ce, lisez les statistiques U .

2

$2$

n

$n$

— whuber

Merci beaucoup!

— Richard Hardy