Pourquoi la somme des probabilités dans une distribution uniforme continue n'est-elle pas l'infini?

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La fonction de densité de probabilité d'une distribution uniforme (continue) est indiquée ci-dessus. L'aire sous la courbe est 1 - ce qui est logique puisque la somme de toutes les probabilités dans une distribution de probabilité est 1.

Formellement, la fonction de probabilité ci-dessus (f (x)) peut être définie comme

1 / (ba) pour x dans [a, b]

et 0 sinon

Considérez que je dois choisir un nombre réel entre a (disons, 2) et b (disons, 6). Cela rend la probabilité uniforme = 0,25. Cependant, comme il y a un nombre infini de nombres dans cet intervalle, la somme de toutes les probabilités ne devrait-elle pas résumer à l'infini? Qu'est-ce que je néglige?

F (x) n'est-il pas la probabilité que le nombre x se produise?

probability distributions uniform

— rahs
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aussi: math.stackexchange.com/questions/2885278/… ; stats.stackexchange.com/questions/199280/…

— Ben Bolker

1

n'est pas une fonction de probabilité - c'est unefonction de densité de probabilité . Autrement dit, cela ne vous donne pas la probabilité que

soit un certain nombre, mais la densité de probabilité ou la probabilité par unité de longueur le long de l'axe des x. Vous utilisez l'intégrationpour obtenir la probabilité totale pour ce type de fonction, pas la somme.

f (x)

$f(x)$

x

$x$

— HelloGoodbye

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décrit ladensité de probabilitéplutôt qu'unemasse de probabilitédans votre exemple. En général, pourles distributions continues,lesévénements- pour lesquels nous obtenons des probabilités - sont desplagesde valeurs, telles que l'aire sous la courbe de à , ou de à (bien que ces plages ne soient pas nécessairement contiguës ). Pour les distributions continues, la probabilité qu'une valeur unique se produise est généralement de 0. $f(x)$ $a$ $a+.1$ $a$ $b$

— Alexis
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Existe-t-il un moyen plus précis sur le plan technique de dire ce que vous essayez de dire? Je crains que le "range" ne décourage les gens, étant donné que les distributions continues peuvent avoir des deltas Dirac ...

— user541686

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@Mehrdad: Le delta dirac n'a pas de distribution continue. La manière appropriée de l' attribution de probabilités serait par l' intermédiaire

.

P (A) = \int_{A} 1 d F

$P(A) = \int_A 1dF$

— Alex R.

1

@AlexR .: Oof, j'ai supposé par "distribution continue" que vous vouliez juste dire une distribution sur un domaine continu, car c'est à cela que les gens se réfèrent quand ils disent que le delta de Dirac est l'analogue continu du delta de Kronecker. Merci de clarifier.

— user541686

@Mehrdad Je pensais précisément au delta de Dirac, mais j'espère que vous remarquerez le terme "en général", ainsi que le niveau apparent d'alphabétisation statistique du PO.

— Alexis

@Mehrdad La formulation technique d'une variable aléatoire est en termes de mesure: il existe une fonction de l'ensemble de puissance de l'espace des événements à l'intervalle [0,1]. Une fonction de densité de probabilité peut être utilisée comme mesure (la mesure d'un ensemble est simplement l'intégrale du PDF sur cet ensemble), mais il existe des mesures, telles que le delta de Dirac (un ensemble a la mesure 1 s'il contient

, et vaut zéro sinon) qui, à proprement parler, ne fonctionnent pas au sens traditionnel.

x_{0}

$x_0$

— Accumulation

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Parce que chaque terme de la somme est pondéré par l'infinitésimal d . L'importance de ceci est probablement plus facilement comprise en parcourant soigneusement un exemple très basique. $x$

région rectangulaire $A_i$

{UNE}_{1} = {UNE}_{2} = 5 \times 2 = dix

$A_1=A_2=5\times 2 = 10$

B_{i}

$B_i$

B_{1} = B_{2} = B_{3} = B_{4} = 5 \times 1 = 5

$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$

\sum_{je = 1}^{2} {UNE}_{je} = \sum_{je = 1}^{4} B_{je} = 20

$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$

0.5

$0.5$

x

$x$

\infty

$\infty$

$\int$ $\int \text dx$

— Zxv
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$\frac{1}{\infty} = 0$

$f(x) = 1$ $x \in \left[0, 1\right]$ $f(x) = 0$ $0.2$ $0.3$

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

c'est-à-dire que vous avez 10% de chances d'obtenir un résultat dans cette plage.

^[1] Désolé pour toutes les personnes ayant des crises cardiaques lors de ma simplification excessive du calcul.

— Escroc
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En général, votre raisonnement échoue dans cette hypothèse:

Cependant, comme il y a un nombre infini de nombres dans cet intervalle, la somme de toutes les probabilités ne devrait-elle pas résumer à l'infini?

C'est un problème mathématique, connu depuis le Zénon des Paradoxes d'Eléa .

Deux de ses affirmations étaient que

Une flèche ne peut jamais atteindre sa cible
Achille ne dépassera jamais une tortue

Les deux étaient basés sur l'affirmation selon laquelle vous pouvez construire une séquence infinie de nombres positifs (dans le premier cas en disant qu'une flèche doit voler infiniment fois la moitié du chemin restant vers la cible, dans le second en disant qu'Achille a pour atteindre la position où la tortue était auparavant, et en attendant la tortue se déplace vers une nouvelle position qui devient notre prochain point de référence).

Avance rapide, cela a conduit à la découverte de sommes infinies.

Ainsi, en somme générale de l'infini, de nombreux nombres positifs ne doivent pas nécessairement être infinis ; cependant, il peut ne pas être infini seulement si (une simplification extrême, désolé à ce sujet) presque tous les nombres de la séquence sont très proches de 0, quelle que soit la valeur proche de zéro que vous leur demandez.

Infinity joue encore plus de tours. L' ordre dans lequel vous ajoutez des éléments de la séquence est également important et peut conduire à une situation où la réorganisation donne des résultats différents!

Explorez un peu plus les paradoxes de l'infini . Vous pourriez être étonné.

— Ister
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Je ne vois pas de façon d'interpréter la question telle que OP pense à des sommes comptables.

— JiK

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$f(x)$ $\frac{p}{x}$ $f(x) = \frac{1}{b-a}$ $\frac{p}{x}$

J'espère que cela a du sens.

— user3719750
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