Densité antérieure non informative sur la normale

L'analyse des données bayésiennes (p. 64) dit, concernant un modèle normal :

une densité a priori vague sensible pour $\mu$ et $\sigma$, en supposant une indépendance préalable des paramètres de localisation et d'échelle, est uniforme sur $(\mu, \log \sigma)$, ou équivalent,

$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Pourquoi est uniforme plus $p(\mu, \log \sigma)$ équivalent à $p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}$?

Pourquoi est-ce un préalable «sensé»?

Laisser $\phi = \log (\sigma) = \tfrac{1}{2} \log (\sigma^2)$ de sorte que vous avez la transformation inverse $\sigma^2 = \exp (2\phi)$. Maintenant, nous appliquons la règle standard pour les transformations de variables aléatoires pour obtenir:

$$p(\sigma^2) = p(\phi) \cdot \Bigg| \frac{d \phi}{d\sigma^2} \Bigg| \propto 1 \cdot \frac{1}{2\sigma^2} \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Les paramètres étant indépendants dans cet a priori, on a alors:

$$p(\mu, \sigma^2) = p(\mu) p(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Cela donne la forme indiquée pour la densité antérieure incorrecte. Quant à la justification de la raison pour laquelle ce prieur est sensé, il existe plusieurs voies de recours. La justification la plus simple est que nous aimerions prendre$\mu$ et $\log \sigma$être uniforme pour représenter "l'ignorance" de ces paramètres. Prendre le logarithme de la variance est une transformation qui garantit que nos croyances sur ce paramètre sont invariantes d'échelle . (Nos croyances sur le paramètre moyen sont également invariantes à l'emplacement et à l'échelle.) En d'autres termes, nous aimerions que notre représentation de l'ignorance des deux paramètres soit invariante à des changements arbitraires dans l'échelle de mesure des variables.

Pour la dérivation ci-dessus, nous avons utilisé un précédent uniforme incorrect sur le paramètre log-variance. Il est possible d'obtenir le même résultat dans un sens limitatif, en utilisant un a priori approprié pour l'échelle logarithmique qui tend vers l'uniformité, et en trouvant l'a priori approprié pour la variance qui correspond à cela, puis en prenant la limite pour obtenir le présent variance incorrecte avant. C'est vraiment juste un reflet du fait que des prieurs incorrects peuvent généralement être interprétés comme des limites de priors appropriés.

Il existe de nombreuses autres justifications possibles pour ce prieur impropre, et elles font appel à la théorie de la représentation de l '"ignorance" antérieure. Il existe une grande littérature sur ce sujet, mais une discussion plus courte peut être trouvée dans Irony et Singpurwalla (1997) (discussion avec José Bernardo) qui parle des différentes méthodes par lesquelles nous essayons de représenter "l'ignorance". Le prior impropre que vous traitez ici est la version limite du prior conjugué pour le modèle normal, avec la variance préalable pour chaque paramètre portée à l'infini.