Améliorer l'estimateur minimum

Supposons que je $n$ paramètres positifs pour estimer $\mu_1,\mu_2,...,\mu_n$ et leur correspondant $n$ estimations non biaisées produites par les estimateurs $\hat{\mu_1},\hat{\mu_2},...,\hat{\mu_n}$ , soit $\mathrm E[\hat{\mu_1}]=\mu_1$ , $\mathrm E[\hat{\mu_2}]=\mu_2$ et ainsi de suite.

Je souhaite estimer $\mathrm{min}(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n)$ en utilisant les estimations à la main. Il est clair que l'estimateur naïf $\mathrm{min}(\hat{\mu_1},\hat{\mu_2},...,\hat{\mu_n})$ est polarisé inférieur tel que

$$\mathrm E[\mathrm{min}(\hat{\mu_1},\hat{\mu_2},...,\hat{\mu_n})]\leq \mathrm{min}(\mu_1,\mu_2,...,\mu_n)$$

Supposons que j'ai aussi la matrice de covariance de l'estimateur correspondant $\mathrm{Cov}(\hat{\mu_1},\hat{\mu_2},...,\hat{\mu_n}) = \Sigma$ à la main. Est-il possible d'obtenir une estimation minimale (ou moins biaisée) du minimum en utilisant les estimations données et la matrice de covariance?

Je n'ai pas de réponse claire sur l'existence d'un estimateur non biaisé. Cependant, en termes d'erreur d'estimation, l'estimation de est un problème intrinsèquement difficile en général.$\min(\mu_1, \dots, \mu_n)$

Par exemple, supposons que et μ = ( μ 1 , … , μ n ) . Soit θ = min i μ i est la quantité cible et θ est une estimation de θ . Si nous utilisons l'estimateur "naïve" θ = min i ( ˉ Y i ) où$Y_1, \dots, Y_N \sim N(\mu, \sigma^2I)$$\mu = (\mu_1, \dots, \mu_n)$$\theta = \min_i \mu_i$$\hat{\theta}$$\theta$$\hat{\theta} = \min_i(\bar{Y}_i)$, puis, laL2erreur d'estimation est supérieure délimitée par E[ θ -θ]2⪅σ2log$\bar{Y_i} = \frac{1}{N}\sum_{j=1}^N Y_{i,j}$$L_2$ à constante. (Notez que l'erreur d'estimation pour chaqueμiestσ

$$\mathbb{E}[\hat{\theta} - \theta]^2 \lessapprox \frac{\sigma^2\log n}{N}$$ $\mu_i$ ). Bien sûr, si lesμisont éloignés les uns des autres et queσest très petit, l'erreur d'estimation doit être réduite à σ$\frac{\sigma^2}{N}$$\mu_i$$\sigma$ . Cependant, dans le pire des cas, aucune estimation deθ nefonctionne mieux que l'estimateur naïf. Vous pouvez précisément montrer que inf θ sup μ 1 ,..., μ n E[ θ -θ]2⪆σ2log$\frac{\sigma^2}{N}$$\theta$ où l'infimum prend le dessus sur tout l'estiamte possible deθsur la base de l'échantillonY1,…,YNet le supremum reprend toute la configuration possible desμi. $$\inf_{\hat{\theta}} \sup_{\mu_1, \dots,\mu_n} \mathbb{E}[\hat{\theta} - \theta]^2 \gtrapprox \frac{\sigma^2\log n}{N}$$ $\theta$$Y_1,\dots, Y_N$$\mu_i$

Par conséquent, l'estimateur naïf est minimax optimal jusqu'à constant, et il n'y a pas de meilleure estimation de dans ce sens.$\theta$

EDIT: La réponse suivante répond à une question différente de celle qui a été posée - elle est formulée comme si est considéré comme aléatoire, mais ne fonctionne pas lorsque μ est considéré comme fixe, ce qui est probablement ce que le PO avait en tête. Si μ est fixé, je n'ai pas de meilleure réponse que min ( μ 1 , . . . , Μ n$\mu$$\mu$$\mu$$\min(\hat\mu_1,...,\hat\mu_n)$

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Si nous pouvons nous traiter considérons que des estimations pour la moyenne et covariance, comme un seul échantillon de la distribution normale à plusieurs variables. Une façon simple d'obtenir une estimation du minimum est alors de dessiner un grand nombre d'échantillons de M V N ( μ , Σ ) , calculer le minimum de chaque échantillon, puis prendre la moyenne de ces minima.$(\mu_1, ..., \mu_n)$$MVN(\hat{\mu}, \Sigma)$

$\Sigma$$\mu \sim MVN(\frac{\hat{\mu} + m \lambda_0}{1 + m}, \frac{1}{n+m} \Sigma)$$\lambda_0$$m$$\mu \sim MVN(\lambda_0, m^{-1} \Sigma$$\mu$$m \rightarrow 0$$\mu \sim MVN(\hat{\mu}, \Sigma)$$\mu$

$min(\mu)$$\mu$$min(\mu)$$m = 0.1$

$\mu$$(\mu_1, ..., \mu_n)$