Paramétrage des distributions de Behrens

"Sur le problème Behrens – Fisher: un examen" par Seock-Ho Kim et Allen S. Cohen

Journal of Educational and Behavioral Statistics , volume 23, numéro 4, hiver 1998, pages 356–377

Je regarde cette chose et elle dit:

Fisher (1935, 1939) a choisi la statistique [oùest lastatistiqueun échantillonhabituelle pour] oùest pris dans le premier quadrant et
$τ = \frac{δ - ({\bar{x}}_{2} - {\bar{x}}_{1})}{\sqrt{s_{1}^{2} / n_{1} + s_{2}^{2} / n_{2}}} = t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ$ $\tau = \frac{\delta-(\bar x_2 - \bar x_1)}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}} = t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $t_i$ $t$ $i=1,2$ $\theta$ [. . . ] La distribution deest ladistribution deBehrens – Fisher et est définie par les trois paramètres,et, $\begin{matrix} (13) & \tan θ = \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}} . \end{matrix}$ $\tan\theta = \frac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}.\tag{13}$ $\tau$ $\nu_1$ $\nu_2$ $\theta$

Les paramètres avaient précédemment été définis comme pour . $\nu_i$ $n_i-1$ $i=1,2$

Or, les choses qui ne sont pas observables ici sont et les deux populations signifient , , dont la différence est , et par conséquent et les deux statistiques . Les DS d'échantillon et sont observables et sont utilisés pour définir , de sorte que est une statistique observable, pas un paramètre de population non observable. Pourtant, nous le voyons utilisé comme l'un des paramètres de cette famille de distributions! $\delta$ $\mu_1$ $\mu_2$ $\delta$ $\tau$ $t$ $s_1$ $s_2$ $\theta$ $\theta$

Se pourrait-il qu'ils auraient dit que le paramètre est l'arctangente de plutôt que de $\dfrac{\sigma_1/\sqrt{n_1}}{\sigma_2/\sqrt{n_2}}$ ? $\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

distributions parameterization fiducial

— Michael Hardy
source

La distribution de Behrens-Fisher est définie par où est un nombre réel et et sont des distributions indépendantes avec des degrés de liberté et respectivement. $t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$ $\theta$ $t_2$ $t_1$ $t$ $\nu_2$ $\nu_1$

La solution de Behrens et Fisher du problème Behrens-Fisher implique la distribution de Behrens-Fisher avec fonction des observations car il s'agit d'une solution pseudo-bayésienne (en fait, une fiduciale): cette distribution dépendante des données est une distribution de type postérieur de (avec la seule partie aléatoire dans la définition de car les données sont fixes). $\theta$ $\tau$ $\delta$ $\tau$

— Stéphane Laurent
source

t_{2} \cos θ - t_{1} \sin θ

$t_2\cos\theta - t_1\sin\theta$

θ

$\theta$

θ = \arctan \frac{s_{1} / \sqrt{n_{1}}}{s_{2} / \sqrt{n_{2}}}

$\theta=\arctan\dfrac{s_1/\sqrt{n_1}}{s_2/\sqrt{n_2}}$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

Alors, cela devrait-il être considéré comme un autre exemple de la technique de conditionnement de Fisher sur une statistique auxiliaire?

— Michael Hardy

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

τ

$\tau$

{\bar{x}}_{1}

$\bar x_1$

{\bar{x}}_{2}

$\bar x_2$

s_{1}

$s_1$

s_{2}

$s_2$

δ

$\delta$

Réponse à votre 2ème commentaire: je ne sais pas. Voici les statistiques fiduciales.

— Stéphane Laurent

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

μ_{1}

$\mu_1$

μ_{2}

$\mu_2$

t_{1}

$t_1$

t_{2}

$t_2$

Paramétrage des distributions de Behrens – Fisher