PDF uniforme de la différence de deux RV

Est-il possible que le PDF de la différence de deux iid rv ressemble à un rectangle (au lieu, disons, du triangle que nous obtenons si les rv sont tirés de la distribution uniforme).

c'est-à-dire est-il possible que le PDF f de jk (pour deux iid rv pris dans une distribution) ait f (x) = 0,5 pour tous -1 <x <1?

Il n'y a pas de restrictions sur la distribution dont nous prenons j et k sauf que le min est -1 et le max est 1.

Après quelques expérimentations, je pense que cela pourrait être impossible.

random-variable pdf iid

— Nathan
source

La différence de deux distributions uniformes est une distribution triangulaire, donc si vous demandez s'il est possible d'obtenir uniforme d'une différence d'uniformes iid, alors la réponse n'est pas.

— Tim

Même Q demandé ici: math.stackexchange.com/questions/2048939/… jusqu'à présent sans réponses!

— kjetil b halvorsen

[- 1, 1]

$[-1,1]$

j

$j$

k

$k$

Ce n'est pas possible. Si je me souviens bien, c'est (sous une forme légèrement différente) déjà répondu quelque part sur place. Je vais voir si je peux le localiser

— Glen_b -Reinstate Monica

X - Y

$X-Y$

X + (- Y),

$X+(-Y),$

Réponses:

$\text{Dist}$ $A-B \sim \text{U}(-1,1)$ $A, B \sim \text{IID Dist}$

$A, B \sim \text{IID Dist}$ $\varphi$ $D=A-B$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = E (\exp (i t (A - B))) \\ = E (\exp (i t A)) E (\exp (- i t B)) \\ = φ (t) φ (- t) \\ = φ (t) \bar{φ (t)} \\ = | φ (t) |^{2} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

$D \sim \text{U}(-1,1)$ $\varphi_D$

\begin{aligned} φ_{D} (t) = E (\exp (i t D)) & = \int_{R} \exp (i t r) f_{D} (r) d r \\ = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} \exp (i t r) d r \\ = \frac{1}{2} [\frac{\exp (i t r)}{i t}]_{r = - 1}^{r = 1} \\ = \frac{1}{2} \frac{\exp (i t) - \exp (- i t)}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (- t) + i \sin (- t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{(\cos (t) + i \sin (t)) - (\cos (t) - i \sin (t))}{i t} \\ = \frac{1}{2} \frac{2 i \sin (t)}{i t} \\ = \frac{\sin (t)}{t} = sinc (t) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

$\text{Dist}$ $\varphi$

| φ (t) |^{2} = φ_{D} (t) = sinc (t) .

$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$

$\blacksquare$

— Ben - Réintègre Monica
source

Il s'agit d'un point de vue d'un ingénieur électricien sur la question, avec un point de vue qui convient mieux à dsp.SE plutôt qu'à stats.SE, mais peu importe.

$X$ $Y$ $f(x)$ $Z$ $X-Y$

f_{Z} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f (x + z) d x .

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$

f_{Z} (z)

$f_Z(z)$

z = 0

$z=0$

f_{Z}

$f_Z$

f

$f$

z = 0

$z=0$

Z

$Z$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z}

$f_Z$ est une densité uniforme conduit à une contradiction et donc l'hypothèse doit être fausse.

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$ $X$ $Y$ $Z$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
source

U (- 1, 1)

$\text{U}(-1,1)$

sinc

$\text{sinc}$

Z

$Z$

U [- 1, 1]

$\mathcal U[-1,1]$

Z

$Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$

f_{Z}

$f_Z$

f_{Z} \sim U [- 1, 1]

$f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$