Les probabilités sont-elles préservées sous la transformation de fonction?

Je pense que c'est un peu basique, mais disons que j'ai une variable aléatoire $X$ , la probabilité la même que pour toute fonction continue à valeur réelle ?$P(X \leq a)$$P(f(X) \leq f(a))$$f$

Cela ne vaut que si augmente de façon monotone. Si f diminue de façon monotone, alors P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) = P ( X ≥ a ) . Par exemple, si f ( x ) = - x , et X est un jet de dé normal, alors P ( X ≤ 5 ) $f$$f$$P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$$f(x) = -x$ maisP(-X≤-5)$P(X \leq 5) = \frac56$ . Sifbascule entre l'augmentation et la diminution, c'est encore plus compliqué.$P(-X \leq -5) = \frac16$$f$

Notez qu'il y a aussi le cas trivial de , dans lequel P ( f ( X ) ≤ a ) est égal à 1 si a ≥ 0 et 0 sinon.$f(x) \equiv 0$$P(f(X) \leq a)$$a \geq 0$

Non. Prenez uniforme sur [ - 1 , 1 ] et a = 0 . Ensuite , Pr ( X < a ) = une / deux . Par contre Pr ( X 2 < a 2 ) = 0 .$X$$[-1,1]$$a=0$$\Pr(X < a ) = 1/2$$\Pr(X^2<a^2) = 0$

Cela revient à demander:

est-ce que pour chaque f ( X ) ≤ f ( a ) ?$X \leq a$$f(X) \leq f(a)$

Il peut y avoir plusieurs façons de violer tandis que X ≤ a . Mais, dans tous les cas, il faut que f soit une fonction non monotone.$f(X) \leq f(a)$$X \leq a$$f$