Somme limite des variations gamma iid

Soit une séquence de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées avec la fonction de densité de probabilité; Montrez que $X_1,X_2,\ldots$

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2} x^{2} e^{- x} & if x > 0; \\ 0 & otherwise . \end{cases}

$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$

Ce que j'ai tenté

À première vue, j'ai pensé qu'il devrait utiliser l'inégalité de Chebyshev car la question demande de montrer une borne inférieure $X_1+X_2+\ldots +X_n$ . Cependant, j'ai pensé au signe limite qui indique clairement que le problème peut être en quelque sorte lié au théorème central de limite (CLT)

Soit $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

E (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} E (X_{i}) = 3 n (since E (X_{i}) = 3) V (S_{n}) = \sum_{i = 0}^{n} V (X_{i}) = 3 n (since V (X_{i}) = 3 and X_{i} are i.i.d)

$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$

Maintenant, en utilisant CLT, pour les grands $n$ , $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
Ou,

z = \frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \sim N (0, 1) as n \to \infty

$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$

Maintenant,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3}) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + P (z \geq 0) = P (- \sqrt{3} \leq z < 0) + \frac{1}{2} \dots (1)

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$

Puisque $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ , donc de $(1)$ ,

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] \geq \frac{1}{2}

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$

Ai-je raison?

probability self-study

Le CLT semble une approche raisonnable mais " "n'a pas de sens ..

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n})

$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] =P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n})$

— P.Windridge

Je pense que ce devrait être

lim_{n \to \infty} P [X_{1} + X_{2} + . . . . . . . . + X_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})] = lim_{n \to \infty} P (S_{n} - 3 n \geq - 3 \sqrt{n}) = lim_{n \to \infty} P (\frac{S_{n} - 3 n}{\sqrt{3 n}} \geq - \sqrt{3}) = P (z \geq - \sqrt{3})

Comme alternative, considérez que iid et donc . La médiane d'une variable aléatoire Gamma n'est pas connue sous forme fermée mais il est connu (cf. Wikipedia ) que pour un grand , la médiane d'une variable aléatoire se situe entre et . Puisque , il faut que la moitié au moins de la masse de probabilité se trouve à droite de .

X_{i} \sim Γ (3, 1)

$X_i \sim\Gamma(3,1)$

X_{1} + X_{2} + \cdot + X_{n} \sim Γ (3 n, 1)

$X_1+X_2+\cdot+X_n \sim \Gamma(3n,1)$

n

$n$

Γ (3 n, 1)

$\Gamma(3n,1)$

3 n - \frac{1}{3}

$3n-\frac 13$

3 n

$3n$

3 (n - \sqrt{n}) < 3 n - \frac{1}{3}

$3(n-\sqrt{n}) < 3n-\frac 13$

3 (n - \sqrt{n})

$3(n-\sqrt{n})$

— Dilip Sarwate

Réponses:

Vous aviez raison que l'inégalité de Chebyshev fonctionnera. Il fournit une limite quelque peu grossière mais efficace qui s'applique à de nombreuses séquences de ce type, révélant que la caractéristique cruciale de cette séquence est que la variance des sommes partielles croît au plus linéairement avec . $n$

Considérons donc le cas extrêmement général de toute séquence de variables non corrélées avec des moyennes et des variances finies Soit la somme des premiers d'entre eux, $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2.$ $Y_n$ $n$

Y_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} .

$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$

Par conséquent, la moyenne de est $Y_n$

m_{n} = \sum_{i = 1}^{n} μ_{n}

$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$

et sa variance est

s_{n}^{2} = Var (Y_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} Var (X_{i}) + 2 \sum_{j > i} Cov (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i}^{2} .

$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$

Supposons que croisse au plus linéairement avec : $s_n^2$ $n$ c'est-à-dire qu'il existe un nombre tel que pour tout suffisamment grand Soit (encore à déterminer), notez que $\lambda\gt 0$ $n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$ $k\gt 0$

m - k \sqrt{n} \leq m - \frac{k}{λ} s_{n},

$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$

et appliquer l'inégalité de à pour obtenir $Y_n$

\begin{aligned} Pr (Y_{n} \geq m_{n} - k \sqrt{n}) & \geq Pr (Y_{n} \geq m_{n} - \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq Pr (| Y_{n} - m_{n} | \leq \frac{k}{λ} s_{n}) \\ \geq 1 - \frac{λ^{2}}{k^{2}} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$

Les deux premières inégalités sont fondamentales: elles suivent car chaque événement successif est un sous-ensemble du précédent.

Dans le cas considéré, où sont indépendants (et donc non corrélés) avec des moyennes et des variances nous avons et $X_i$ $\mu_i=3$ $\sigma_i^2=3,$ $m_n=3n$

s_{n} = \sqrt{3} \sqrt{n},

$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$

d'où nous pouvons prendre aussi petit que L'événement de la question correspond à où $\lambda$ $\sqrt{3}.$ $3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$ $k=3,$

Pr (Y_{n} \geq 3 n - 3 \sqrt{n}) \geq 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} = \frac{2}{3} > \frac{1}{2},

$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$

QED.

— whuber
source

Comme alternative à l'excellente réponse de whuber, je vais essayer de dériver la limite exacte de la probabilité en question. L'une des propriétés de la distribution gamma est que les sommes de variables aléatoires gamma indépendantes avec le même paramètre taux / échelle sont également des variables aléatoires gamma de forme égale à la somme des formes de ces variables. (Cela peut être facilement démontré en utilisant les fonctions génératrices de la distribution.) Dans le cas présent, nous avons , donc nous obtenons la somme: $X_1,...X_n \sim \text{IID Gamma}(3,1)$

S_{n} \equiv X_{1} + \dots + X_{n} \sim Gamma (3 n, 1) .

$S_n \equiv X_1 + \cdots + X_n \sim \text{Gamma}(3n, 1).$

On peut donc écrire la probabilité exacte d'intérêt en utilisant le CDF de la distribution gamma. Soit le paramètre de forme et l’argument d’intérêt, on a: $a = 3n$ $x = 3(n-\sqrt{n})$

\begin{aligned} H (n) & \equiv P (S_{n} \geq 3 (n - \sqrt{n})) \\ = \frac{Γ (a, x)}{Γ (a)} \\ = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &\equiv \mathbb{P}(S_n \geq 3(n-\sqrt{n})) \\[12pt] &= \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)} \\[6pt] &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Pour trouver la limite de cette probabilité, nous notons d'abord que nous pouvons écrire le deuxième paramètre en termes de premier comme où . En utilisant un résultat montré dans Temme (1975) (Eqn 1.4, p. 1109), nous avons l'équivalence asymptotique: $x = a + \sqrt{2a} \cdot y$ $y = -\sqrt{3/2}$

\begin{aligned} \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} & \sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (- y) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} (1 + y^{2}) \exp (- y^{2}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} &\sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf}(-y) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} (1+y^2) \exp( - y^2). \end{aligned}$

En utilisant l'approximation de Stirling et la définition limite du nombre exponentiel, on peut également montrer que:

\begin{aligned} \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} & \sim \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (a - 1)^{a - 1 / 2} + x^{a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot (1 - \frac{1}{a})^{a - 1 / 2} + \sqrt{x} \cdot (\frac{x}{a})^{a - 1 / 2} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1}}{\sqrt{2 π} \cdot a \cdot e^{- 1} + \sqrt{x} \cdot e^{x - a} \cdot e^{a - x - 1}} \\ = \frac{\sqrt{2 π} \cdot a}{\sqrt{2 π} \cdot a + \sqrt{x}} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} &\sim \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2} + x^a \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2} + \sqrt{x} \cdot (\tfrac{x}{a})^{a-1/2} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1} + \sqrt{x} \cdot e^{x-a} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a}{\sqrt{2 \pi} \cdot a + \sqrt{x}} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1}. \\[6pt] \end{aligned}$

En substituant les valeurs pertinentes, on obtient donc:

\begin{aligned} H (n) & = \frac{a Γ (a)}{a Γ (a) + x^{a} e^{- x}} \cdot \frac{Γ (a + 1, x)}{Γ (a + 1)} \\ \sim \frac{\sqrt{2 π a}}{\sqrt{2 π a} + 1} \cdot [\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) + \sqrt{\frac{2}{9 a π}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp (\frac{3}{2})] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1} \cdot \Bigg[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp \Big( \frac{3}{2} \Big) \Bigg]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$

Cela nous donne la limite:

lim_{n \to \infty} H (n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot erf (\sqrt{\frac{3}{2}}) = 0.9583677.

$\lim_{n \rightarrow \infty} H(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) = 0.9583677.$

Cela nous donne la limite exacte de la probabilité d'intérêt, qui est supérieure à la moitié.

— Ben - Réintègre Monica
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