«Théorème central limite» pour la somme pondérée des variables aléatoires corrélées

Je lis un article qui prétend que

{\hat{X}}_{k} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{j = 0}^{N - 1} X_{j} e^{- i 2 π k j / N},

$\hat{X}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j=0}^{N-1}X_je^{-i2\pi kj/N},$ (c'est-à-dire la transformée de Fourier discrète , DFT) par le CLT tend vers une variable aléatoire gaussienne (complexe). Cependant, je sais que ce n'est pas vrai en général. Après avoir lu cet argument (fallacieux), j'ai cherché sur le net et trouvé cet article de 2010 de Peligrad & Wu , où ils prouvent que pour certains processus stationnaires, on peut trouver un "théorème CLT".

Ma question est: avez-vous d'autres références qui tentent de résoudre le problème de la recherche de la distribution limite de la DFT d'une séquence indexée donnée (à la fois par simulation ou par théorie)? Je suis particulièrement intéressé par le taux de convergence (c'est-à-dire la vitesse à laquelle la DFT converge) étant donné une certaine structure de covariance pour dans le contexte de l'analyse de séries chronologiques, ou des dérivations / applications à des séries non stationnaires. $X_j$

time-series central-limit-theorem fourier-transform

— Néstor
source

$_j$ $_j$ $_j$

— Michael R. Chernick
source

Quelles sont ces conditions? Et en quoi son théorème diffère-t-il de l'article que je cite?

— Néstor

Il est probablement très similaire au résultat du document que vous citez. Je l'ai regardé parce que cela ressemblait à un résultat que j'ai appris lors de mes études supérieures. Je ne vais pas réciter les hypothèses. Elle implique une contrainte sur la fonction d'autocorrélation pour Xj et les λjs ne totalisent pas par paires à des multiples de 2π.

— Michael R. Chernick