Valeur attendue du log-déterminant d'une matrice de Wishart

Soit $\Lambda \sim \mathcal W_D(\nu, \Psi)$ , c'est-à-dire distribué selon une distribution de Wishart dimensionnelle avec la moyenne et les degrés de liberté . Je voudrais une expression pour oùest le déterminant. $D \times D$ $\nu \Psi$ $\nu$ $E(\log |\Lambda|)$ $|\Lambda|$

J'ai recherché un peu sur Google la réponse à cette question et j'ai obtenu des informations contradictoires. Ce document indique explicitement que où désigne la fonction digamma ; le papier ne donne pas une source pour ce fait pour autant que je puisse dire. C'est également la formule utilisée sur la page wikipedia pour le Wishart , qui contient le texte de reconnaissance des motifs de Bishop.

E (Journal | Λ |) = ré Journal 2 + Journal | Ψ | + \sum_{je = 1}^{ré} ψ (\frac{ν - je + 1}{2})

$E(\log|\Lambda|) = D \log 2 + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

ψ (\cdot)

$\psi(\cdot)$

\frac{d}{d x} \log Γ (x)

$\frac d {dx} \log \Gamma(x)$

D'un autre côté, google a lancé cette discussion avec un document lié qui indique que Ils concluent en déclarant que qui est dérivé en utilisant le fait que . J'ai vérifié ce calcul à partir de et cela semble correct, mais nous avons un supplémentaire .

ν^{ré} \frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - ré + 1}^{2} . (†)

$\nu^D \frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger)$

E (Journal | Λ |) = ré Journal 2 - ré Journal ν + Journal | Ψ | + \sum_{je = 1}^{ré} ψ (\frac{ν - je + 1}{2})

$E(\log | \Lambda|) = D \log 2 - D \log \nu + \log |\Psi| + \sum_{i = 1} ^ D \psi\left(\frac{\nu - i + 1} 2\right)$

E (\log χ_{ν}^{2}) = \log (2) + ψ (ν / 2)

$E(\log \chi^2_\nu) = \log(2) + \psi(\nu /2)$

(†)

$(\dagger)$

- D \log ν

$-D\log\nu$

distributions wishart

— gars
source

Alors que je m'apprêtais à poster ceci, j'ai pu répondre à ma propre question. Conformément à l'étiquette générale de StackExchange, j'ai décidé de le publier de toute façon dans l'espoir que quelqu'un d'autre qui rencontre ce problème puisse le trouver à l'avenir, peut-être après avoir rencontré les mêmes problèmes avec des sources que moi. J'ai décidé d'y répondre immédiatement afin que personne n'y perde de temps car la solution n'est pas intéressante.

est faux, car le document lié à la discussion utilisait une paramétrisation différente du Wishart; cela n'a pas été remarqué par les présentateurs. Ce que nous devrions réellement avoir, c'est $(\dagger)$ Après cette correction, les deux formules conduisent à la même réponse.

\frac{| Λ |}{| Ψ |} \sim χ_{ν}^{2} χ_{ν - 1}^{2} \dots χ_{ν - D + 1}^{2} . († †)

$\frac{|\Lambda|}{|\Psi|} \sim \chi^2_\nu \chi^2_{\nu - 1} \cdots\chi^2_{\nu - D + 1}. \qquad (\dagger\dagger)$

En tout cas, je pense que est une relation intéressante. $(\dagger\dagger)$

ÉDITER:

À la suite de l'avis de probabilisticlogic on peut écrire où triangulaire inférieure a des éléments hors de la diagonale et $\Lambda \stackrel d = \Psi^{1/2} L L^T \Psi^{1/2}$ $L$ $N(0, 1)$ éléments sur la diagonale. Prendre le déterminant des deux côtés donneimmédiatement. $\sqrt{\chi^2_{\nu - i + 1}}, (i = 1, ..., D)$ $(\dagger\dagger)$

— gars
source

J'aime mieux la version Cholesky - vous avez la racine carrée du chi carré sur la diagonale et la normale standard sur le triangle inférieur.

— probabilityislogic

@probabilityislogic Merci pour le conseil! Se souvenir de cela comme ça semble plus facile et plus utile.

— gars

Hé, j'essaie de dériver l'attente du journal Wishart (indiqué dans le livre de Bishop), qui semble compliqué, avez-vous trouvé une source pour dériver le résultat?

— avocat