Distribution de

Je travaille sur le problème suivant:

Soit et des variables aléatoires indépendantes de densité commune où . Soit et . Trouvez la densité conjointe de et donc trouver le pdf de . $X$ $Y$ $f(x)=\alpha\beta^{-\alpha}x^{\alpha-1}\mathbf1_{0<x<\beta}$ $\alpha\geqslant1$ $U=\min(X,Y)$ $V=\max(X,Y)$ $(U,V)$ $U+V$

Comme $U+V=X+Y$ , je peux simplement trouver le pdf de $X+Y$ pour voir ce que le pdf de $U+V$ devrait être.

le pdf de $T=X+Y$ pour être

\begin{matrix} (1) & f_{T} (t) = \int f (t - y) f (y) d y = α^{2} β^{- 2 α} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} \end{matrix}

$f_T(t)=\int f(t-y)f(y)\,\mathrm{d}y=\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}\tag{1}$

Je ne sais pas si cette intégrale peut être simplifiée.

Pour revenir à la question, le pdf commun de $(U,V)$ est donné par

f_{U, V} (u, v) = 2 f (u) f (v) 1_{0 < u < v < β} = 2 α^{2} β^{- 2 α} (u v)^{α - 1} 1_{0 < u < v < β}

$f_{U,V}(u,v)=2f(u)f(v)\mathbf1_{0<u<v<\beta}=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}(uv)^{\alpha-1}\mathbf1_{0<u<v<\beta}$

Je fait un changement de variables $(U,V)\to(W,Z)$ où $W=U+V$ et $Z=U$ . La valeur absolue du jacobien est l'unité. De plus, $0<u<v<\beta\implies 0<z<\frac{w}{2}<\beta$ . Le pdf si marginal de $W$ est

\begin{matrix} (2) & f_{W} (w) = 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z 1_{0 < w < 2 β} \end{matrix}

$f_W(w)=2\alpha^2\beta^{-2\alpha}\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}\,\mathbf1_{0<w<2\beta}\tag{2}$

Il est possible que j'ai commis une erreur dans les supports appropriés des variables aléatoires. Il est également possible que l'intégrale n'ait pas de solution en termes de fonctions élémentaires. En tout cas, je ne pouvais pas procéder à l'intégrale. Donc , je ne pouvais même pas vérifier que a le même pdf que . Il semble que je reçois différentes distributions de et . Et par curiosité, la distribution de a-t-elle un nom (auquel cas j'aurais cherché la convolution de deux de ces variables aléatoires)? $W=U+V$ $T=X+Y$ $W$ $T$ $X$

Éditer.

Procéder à la dernière intégrale que je reçois à la main

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = w^{2 α - 1} \int_{0}^{1 / 2} t^{α - 1} (1 - t)^{α - 1} d t = w^{2 α - 1} I_{1 / 2} (α, α) B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=w^{2\alpha-1}\int_0^{1/2}t^{\alpha-1}(1-t)^{\alpha-1}\,\mathrm{dt}=w^{2\alpha-1}I_{1/2}(\alpha,\alpha)B(\alpha,\alpha)$ où est la fonction bêta incomplète régularisée. En utilisant la propriété , nous obtenons . Donc, finalement, nous avons

I_{x}

$I_{x}$

I_{x} (a, b) = 1 - I_{1 - x} (b, a)

$I_x(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)$

I_{1 / 2} (α, α) = \frac{1}{2}

$I_{1/2}(\alpha,\alpha)=\frac{1}{2}$

\int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z = \frac{1}{2} w^{2 α - 1} B (α, α)

$\int_0^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{dz}=\frac{1}{2}w^{2\alpha-1}B(\alpha,\alpha)$

Cela implique que

f_{W} (w) = α^{2} β^{- 2 α} B (α, α) w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f_W(w)=\alpha^2\beta^{-2\alpha}B(\alpha,\alpha)w^{2\alpha-1}\mathbf1_{0<w<2\beta}$

Que ce ne soit pas une densité dans la plage donnée de est facilement visible. J'ai donc l'impression d'avoir fait une grosse erreur quelque part. J'ai vérifié mes calculs avec Mathematica et ils semblent d'accord. $w$

— TêtuAtom
source

@ Xi'an Et la somme des variantes bêta indépendantes n'a peut-être pas de forme fermée pdf?

— StubbornAtom

@ Xi'an Donc, je sens qu'il n'y a rien de mal si je termine ma réponse avec cette intégrale, qu'elle ait ou non une forme fermée en termes de fonction spéciale?

— StubbornAtom

En tant que généralisation de stats.stackexchange.com/questions/41467 (le cas où ), cette question peut probablement être résolue en utilisant une ou plusieurs des différentes techniques expliquées dans ce fil.

α = 1

$\alpha=1$

— whuber

J'ai dit par erreur que , alors qu'en fait suffit pour que soit une densité valide. Ceci est parfois appelé une distribution de fonction de puissance . Pour c'est une densité bêta, et pour c'est une densité uniforme.

α > 1

$\alpha>1$

α > 0

$\alpha>0$

f

$f$

β = 1

$\beta=1$

α = 1

$\alpha=1$

— StubbornAtom

Depuis nous avons ( , nouveau par un changement de variable

\begin{aligned} \int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y 1_{0 < t < 2 β} & = {\begin{cases} \int_{0}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y & when 0 \leq t \leq β \\ \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & when β \leq t \leq 2 β \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\,\mathbf1_{0<t<2\beta}&=\begin{cases} \int_{0}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }0\le t\le \beta\\ \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&\text{when }\beta\le t\le 2\beta\\ \end{cases}\\ \end{align}$

t < β

$t<\beta$ ) et par un changement de variable dans la seconde intégrale de rhs De même, lorsque

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{t} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= \int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{t}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

z = t - y

$z=t-y$

\int_{max (t - β, 0)}^{min (t, β)} (y (t - y))^{α - 1} d y = 2 \int_{0}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y

$\int_{\max(t-\beta,0)}^{\min(t,\beta)}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y= 2\int_{0}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y$

t > β

$t>\beta$

\begin{aligned} \int_{t - β}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y & = \int_{t - β}^{t / 2} (y (t - y))^{α - 1} d y + \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \\ = 2 \int_{t / 2}^{β} (y (t - y))^{α - 1} d y \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{t-\beta}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y&= \int_{t-\beta}^{t/2}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y+\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y\\ &=2\int_{t/2}^{\beta}(y(t-y))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}y \end{align*}$

z = t - y

$z=t-y$ dans la seconde intégrale des rhs. Je ne suis cependant pas en mesure de retrouver la même expression fonctionnelle pour la densité dans ce deuxième cas , à savoir

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z$

Maintenant, comme indiqué dans la question, par un changement d'échelle, ce qui impliquerait que la distribution d'intérêt a la densité qui le transforme en une distribution Beta redimensionnée sur , donc avec une densité

2 \int_{0}^{w / 2} (z (w - z))^{α - 1} d z \propto w^{2 (α - 1) + 1} = w^{2 α - 1}

$2\int_{0}^{w/2}(z(w-z))^{\alpha-1}\,\mathrm{d}z \propto w^{2(\alpha-1)+1}=w^{2\alpha-1}$

f (w) \propto w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w)\propto w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

B (2 α, 1)

${\cal B}(2\alpha,1)$

(0, 2 β)

$(0,2\beta)$

f (w) = {2 β}^{- 2 α} \frac{Γ (2 α + 1)}{Γ (2 α)} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β} = 2 α {2 β}^{- 2 α} w^{2 α - 1} 1_{0 < w < 2 β}

$f(w) = \{2\beta\}^{-2\alpha}\dfrac{\Gamma(2\alpha+1)}{\Gamma(2\alpha)}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}=2\alpha\{2\beta\}^{-2\alpha}w^{2\alpha-1} \mathbf1_{0<w<2\beta}$

Cela vient comme une contradiction lorsque l'on considère la réponse incroyablement détaillée de W. Huber , car les uniformes sont Beta . Et puisque la somme de deux Uniformes n'est pas une variable aléatoire Beta , mais plutôt un rv avec une densité de "tente". ${\cal B}(1,1)$ ${\cal B}(2,1)$

À part: Plus généralement, une somme de variables Beta n'est pas une autre variable Beta, l '"explication" étant simple quand on regarde Betas comme deux Gammas normalisés par leur somme. L'ajout de deux Betas permet de voir des sommes différentes dans le dénominateur.

Le problème est donc avec la dérivation de la densité de : puisque un changement de variables conduit à et les contraintes d'indicateur sont Par conséquent, en conclusion, savoir (1) et non l'expression proposée (2). $W=U+V$

(U, V) \sim 2 α β^{- 2} [u v]^{α - 1} I_{0 < u < v < β}

$(U,V) \sim 2\alpha \beta^{-2}[uv]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<u<v<\beta}$

(Z, W) = (U, U + V)

$(Z,W)=(U,U+V)$

(Z, W) \sim 2 α β^{- 2} [z (w - z)]^{α - 1} I_{0 < z < w - z < β}

$(Z,W) \sim 2\alpha \beta^{-2}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\mathbb{I}_{0<z<w-z<\beta}$

0 < z 2 z < w z < β z > w - β 0 < w and w < 2 β

$0<z \quad 2z<w \quad z<\beta \quad z>w-\beta \quad 0<w \quad\text{and}\quad w<2\beta$

W \sim 2 α^{2} β^{- 2 α} \int_{max {0, w - β}}^{min {β, w / 2}} [z (w - z)]^{α - 1} d z I_{0 < w < 2 β}

$W\sim 2\alpha^2 \beta^{-2\alpha}\int_{\max\{0,w-\beta\}}^{\min\{\beta,w/2\}}[z(w-z)]^{\alpha-1}\,\text{d}z\,\mathbb{I}_{0<w<2\beta}$

— Xi'an
source

C'est ce que je demandais s'il était d'accord avec (1) ou non. Vous devrez probablement également ajouter les constantes manquantes dans et . Merci, pas étonnant que j'obtienne tous ces résultats étranges.

(Z, W)

$(Z,W)$

(U, V)

$(U,V)$

— StubbornAtom