Estimateur positif et impartial du carré de la moyenne

10

Supposons que nous ayons accès à des échantillons iid d'une distribution avec une moyenne et une variance vraies (inconnues) , et nous voulons estimer . $\mu, \sigma^2$ $\mu^2$

Comment construire un estimateur non biaisé, toujours positif de cette quantité?

La prise du carré de la moyenne de l'échantillon est biaisée et surestimera la quantité, esp. si est proche de 0 et est grand. $\tilde{\mu}^2$ $\mu$ $\sigma^2$

C'est peut-être une question triviale, mais mes compétences sur Google me laissent tomber car estimator of mean-squaredseul retournemean-squarred-error estimators

Si cela facilite les choses, la distribution sous-jacente peut être supposée être gaussienne.

Solution:

Il est possible de construire une estimation non biaisée de ; voir la réponse de knrumsey $\mu^2$
Il n'est pas possible de construire une estimation non biaisée et toujours positive de car ces exigences sont en conflit lorsque la vraie moyenne est 0; voir la réponse de Winks $\mu^2$

mean unbiased-estimator

— Clins d'oeil
source

Peut-être cherchez-vous plutôt l' estimateur de la moyenne au carré ou l' estimateur du carré de la moyenne . Quand j'ai lu votre titre, j'étais aussi confus (tout comme Google), donc je l'ai modifié pour le rendre plus intuitif.

— Richard Hardy

10

Notez que la moyenne de l'échantillon $\bar{X}$ est également normalement distribuée, avec une moyenne $\mu$ et une variance $\sigma^2/n$ . Cela signifie que

E ({\bar{X}}^{2}) = E (\bar{X})^{2} + Var (\bar{X}) = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$

Si vous ne vous souciez que d'une estimation sans biais, vous pouvez utiliser le fait que la variance de l'échantillon est sans biais pour $\sigma^2$ . Cela implique que l'estimateur

\hat{μ^{2}} = {\bar{X}}^{2} - \frac{S^{2}}{n}

$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$ est sans biais pour

μ^{2}

$\mu^2$ .

— knrumsey
source

2

\hat{μ^{2}}

$\hat{\mu^2}$

3

(\bar{X}, S^{2})

$(\bar{X},S^2)$

@Winks C'est la raison même pour laquelle il s'agit d'un exemple d'un estimateur absurde sans biais.

— StubbornAtom

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$

E (X_{1} X_{2}) = E (X_{1}) E (X_{2}) = μ^{2}

$E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$

μ

$\mu$

13

$\mu^2$

Si la vraie moyenne est 0, l'estimateur doit en retour retourner 0 mais n'est pas autorisé à produire des nombres négatifs, il n'est donc pas non plus autorisé à produire des nombres positifs car il serait biaisé. Un estimateur non biaisé, toujours positif de cette quantité doit donc toujours renvoyer la bonne réponse lorsque la moyenne est 0, quels que soient les échantillons, ce qui semble impossible.

$\mu^2$

— Clins d'oeil
source

2

Il y a un article assez ancien de Jim Berger qui établit ce fait, mais je ne peux pas le retracer. Le problème apparaît également à Monte-Carlo avec des estimateurs de debiasing comme la roulette russe.

— Xi'an