La stationnarité est-elle préservée sous une combinaison linéaire?


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Imaginez que nous ayons deux processus de séries temporelles, qui sont stationnaires, produisant: .xt,yt

Est , également stationnaire?α , β Rzt=αxt+βytα,βR

Toute aide serait appréciée.

Je dirais que oui, car il a une représentation MA.


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Pourquoi est-il garanti d'être MA? il existe des processus AR stables. Quoi qu'il en soit, si vous parlez de stabilité BIBO, alors oui, la somme est trivialement stable car vous pouvez calculer les nouvelles limites. La stabilité asymptotique tient également parce quelimtzt=αlimtxt+βlimtyt
Steve Cox

Liés à certains étendre: Remarque en analyse numérique, vous utilisez ce qu'on appelle un préconditionneur (une transformation linéaire particulière) pour gagner en stabilité, donc je doute que la réponse soit oui.
Surb

Réponses:


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Peut-être étonnamment, ce n'est pas vrai. (L'indépendance des deux séries chronologiques le rendra cependant vrai.)

Je comprends que «stable» signifie stationnaire, car ces mots semblent être utilisés de manière interchangeable dans des millions de résultats de recherche, dont au moins un sur notre site .

Pour un contre-exemple, soit une série chronologique stationnaire non constante pour laquelle chaque est indépendant de , et dont les distributions marginales sont symétriques autour de . DéfinirX t X s s t , 0XXtXsst,0

Yt=(1)tXt.

! [Figure 1: graphiques de X, Y et (X + Y) / 2 au fil du temps

Ces graphiques montrent des parties des trois séries chronologiques discutées dans ce post. été simulé comme une série de tirages indépendants d'une distribution normale standard.X

Pour montrer que est stationnaire, nous devons démontrer que la distribution conjointe de pour tout ne dépend pas de . Mais cela découle directement de la symétrie et de l'indépendance du . ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , , Y s + t n ) t 1 < t 2 < < t n s X tY(Ys+t1,Ys+t2,,Ys+tn)t1<t2<<tnsXt

Figure montrant quelques diagrammes de dispersion croisée de Y

Ces diagrammes de dispersion décalés (pour une séquence de 512 valeurs de ) illustrent l'affirmation selon laquelle les distributions conjointes bivariées de sont comme prévu: indépendantes et symétriques. (Un "nuage de points décalé" affiche les valeurs de contre ; les valeurs de sont affichées.)Y Y t + s Y t s = 0 , 1 , 2YYYt+sYts=0,1,2

Néanmoins, en choisissant , nous avonsα=β=1/2

αXt+βYt=Xt

pour même et autrementt

αXt+βYt=0.

Puisque est non constant, ces deux expressions ont évidemment des distributions différentes pour tout et , d'où la série n'est pas stationnaire. Les couleurs de la première figure mettent en évidence cette non-stationnarité dans en distinguant les valeurs nulles des autres.t t + 1 ( X + Y ) / 2 ( X + Y ) / 2Xtt+1(X+Y)/2(X+Y)/2


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L'indépendance des deux séries chronologiques est évidemment une condition suffisante. Mais l'exigence plus faible de stationnarité commune ne suffirait-elle pas également?
Dilip Sarwate

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Oui, c'est vrai @Dilip. Merci pour cette observation.
whuber

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Considérez le processus bidimensionnel

wt=(xt,yt)

S'il est strictement stationnaire, ou alternativement, si les processus et sont conjointement strictement stationnaires , alors un processus formé par toute fonction mesurable sera également strictement stationnaire.( y t ) f : = f ( x t , y t ) , f : R 2R(xt)(yt)f:=f(xt,yt),f:R2R

Dans l'exemple de @ whuber, nous avons

wt=(xt,(1)txt)

Pour examiner si ce est strictement stationnaire, nous devons d'abord obtenir sa distribution de probabilité. Supposons que les variables sont absolument continues. Pour certains , nous avonswtcR

Prob(Xtc,(1)tXtc)={Prob(Xtc,Xtc)t is evenProb(Xtc,Xtc)t is odd

={Prob(Xtc)t is evenProb(cXtc)t is odd

Prob(Xtc,(1)tXtc)={Prob(Xtc)t is evenProb(|Xt|c)t is odd

S'en tenir à l'exemple de whuber, les deux branches sont des distributions de probabilité différentes car a une distribution symétrique autour de zéro. xt

Maintenant, pour examiner la stationnarité stricte, décaler l'indice d'un nombre entier . Nous avonsk>0

Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc)={Prob(Xt+kc)t+k is evenProb(|Xt+k|c)t+k is odd

Pour une stationnarité stricte, nous devons avoir

Prob(Xtc,(1)tXtc)=Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc),t,k

Et nous n'avons pas cette égalité , parce que, disons, si est pair et est impair, alors est impair, auquel cast,ktkt+k

Prob(Xtc,(1)tXtc)=Prob(Xtc)

tandis que

Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc)=Prob(|Xt+k|c)=Prob(|Xt|c)

Nous n'avons donc pas de stationnarité stricte commune , et alors nous n'avons aucune garantie sur ce qui arrivera à une fonction de . f(xt,yt)

Je dois souligner que la dépendance entre et , est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la perte de stationnarité stricte conjointe. C'est l'hypothèse supplémentaire de dépendance de sur l'indice qui fait le travail.xtytyt

Considérer

qt=(xt,θxt),θR

Si l'on fait le travail précédent pour on trouvera que la stationnarité stricte conjointe est valable ici.(qt)

C'est une bonne nouvelle car un processus dépendant de l'indice et strictement stationnaire ne fait pas partie des hypothèses de modélisation que nous devons faire très souvent. Dans la pratique donc, si nous avons une stationnarité stricte marginale, nous nous attendons également à une stationnarité stricte conjointe même en présence de dépendance (bien que nous devions bien sûr vérifier).


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Je dirais que oui, car il a une représentation MA.

Une observation. Je pense qu'avoir une représentation MA implique une stationnarité faible, je ne sais pas si cela implique une stationnarité forte.


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Re "Je ne peux pas imaginer": veuillez voir ma réponse pour un contre-exemple.
whuber

oneloop, supprimez la partie liée à la stationnarité stricte, et laissez simplement celle liée à la stationnarité faible. Je vais vous donner un +1, car cela m'a aussi aidé. ;)
Un vieil homme dans la mer.

@Anoldmaninthesea. Comme ça?
2018

Oui comme ça. La représentation MA implique en effet une stationnarité faible.
Un vieil homme dans la mer.

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gung - Rétablir Monica
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