Quelles sont certaines distributions sur le simplexe de probabilité?

Soit la probabilité simplexe de dimension K - 1 , c'est-à-dire que x ∈ Δ K est tel que x i ≥ 0 et ∑ i x i$\Delta_{K}$$K-1$$x \in \Delta_{K}$$x_i \ge 0$ .$\sum_i x_i = 1$

Quelles distributions qui sont fréquemment (ou bien connues, ou définies dans le passé) sur $\Delta_{K}$ ?

De toute évidence, il existe les distributions Dirichlet et Logit-Normal. Y a-t-il d'autres distributions qui apparaissent naturellement dans ce contexte?

Ceci est étudié dans l'analyse des données de composition, il y a un livre par Aitchison: The Statistical Analysis Of Compositional Data .

Définissez le simplexe par

$$S^n =\{(x_1, \dots,x_{n+1}) \in {\mathbb R}^{n+1} \colon x_1>0,\dots, x_{n+1}>0, \sum_{i=1}^{n+1} x_i=1\}.$$ Notez que nous utilisons l'indice $n$ pour indiquer la dimension! Définir la moyenne géométrique d'un élément du simplexe,$x$$\tilde{x}$$x=(x_1, \dots, x_{n+1}) \mapsto (\log(x_1/\tilde{x}), \dots, \log(x_n/\tilde{x})$${\mathbb R}^n$, ayez donc un inverse que je vous laisse à calculer (Il existe également d'autres versions de cette transformation qui peuvent être utilisées, qui ont peut-être de meilleures propriétés mathématiques, plus à ce sujet plus tard).

${\mathbb R}^n$${\mathbb R}^n$ nous obtenons une distribution sur le simplex.

Je compléterai ce post plus tard avec quelques exemples et plus de détails sur les transformations log-ratio.