Les variables aléatoires suivent-elles les mêmes règles algébriques que les nombres ordinaires?

Dans les commentaires sur ma réponse à une question récente sur la somme des variables aléatoires , je suis tombé sur un lien vers l'article de Wikipedia sur la distribution des ratios , et j'ai remarqué la revendication particulière suivante:

Les règles algébriques connues avec des nombres ordinaires ne s'appliquent pas à l'algèbre des variables aléatoires. Par exemple, si un produit est et un rapport cela ne signifie pas nécessairement que les distributions de et sont les mêmes. $C = AB$ $D=C/A$ $D$ $B$

Cette affirmation figure dans l'article depuis 2007 . Il a été ajouté par le même éditeur apparemment réputé qui a initialement créé l'article et a contribué une grande partie de son contenu original et actuel, et il est apparemment cité dans le livre The Algebra of Random Variables de Melvin D. Springer, publié en 1979 (bien qu'il soit il n'est pas clair à 100% si le marqueur de citation qui apparaît plus loin dans le même paragraphe est également censé couvrir cette allégation).

De toute évidence, cette affirmation me semble absurde. Je pourrais simplement le modifier à partir de l'article de Wikipédia, mais étant donné qu'il n'a pas été contesté depuis plus de 10 ans, je me suis dit que je devrais m'assurer que je ne suis pas celui qui se trompe ici. N'ayant pas le livre de Springer à portée de main pour vérifier la (possible) citation, j'ai pensé demander l'aide des experts ici. En particulier, étant donné que l'allégation telle qu'elle est formulée se compose en réalité de deux parties, ma question fait de même:

Partie 1: Les variables aléatoires suivent-elles les mêmes règles algébriques que les nombres ordinaires, ou ne le font-elles pas (dans un certain sens)? Si ce n'est pas le cas, en quoi les règles diffèrent-elles? Cela dépend-il du formalisme (généralement accepté) que l'on adopte?

Partie 2: Il est clair que, même pour les nombres ordinaires, n'est pas toujours égal à , puisque n'est même pas défini lorsque . Cette différence insignifiante est-elle la seule façon dont et peuvent ne pas être égaux, même quand ce sont des variables aléatoires? En particulier, l'instruction suivante est-elle toujours valable pour les variables aléatoires (à valeurs réelles ou complexes): $D = \frac{AB}{A}$ $B$ $D$ $A = 0$ $D$ $B$

A \neq 0 ⟹ \frac{A B}{A} = B .

$A \ne 0 \implies \frac{AB}{A} = B.$

Partie 3 (bonus): Que dit réellement le livre de Springer à ce sujet, et y a-t-il quelque chose là-dedans qui pourrait, dans un certain sens, être pris pour soutenir la revendication citée ci-dessus? Est-ce que, comme je le suppose, est-il réellement considéré comme une source fiable pour les affirmations sur les mathématiques et les statistiques traditionnelles?

— Ilmari Karonen
source

Un commentaire mathématique sur la partie 2: Il est toujours vrai que quand il est défini , c'est-à-dire que ce n'est pas l'équation qui est le problème mais la simple définition! En ce sens, supposons que est un RV tel que pour tous . Alors et ont la même distribution simplement parce qu'ils sont la même variable aléatoire. Une variable aléatoire est simplement une fonction d'un espace de probabilité dans n'importe quel ensemble (les réels si vous voulez faire ce genre d'algèbre dans un cadre naturel avec elle) ... Aussi: Que voulez-vous dire exactement par ? pour tous

a b / b = a

$ab/b = a$

B

$B$

B (ω) \neq 0

$B(\omega) \neq 0$

ω

$\omega$

A B / B

$AB/B$

B

$B$

Ω

$\Omega$

A \neq 0

$A \neq 0$

ω

$\omega$ ? Juste pour certains? ...

— Fabian Werner

(+1) Le langage de cet article Wikipedia est pauvre, mais son intention est claire: cela signifie discuter de l'algèbre des distributions, pas des variables aléatoires en soi. Si vous choisissez de le modifier, envisagez de clarifier la langue sans changer l'idée qu'elle essaie de transmettre.

— whuber

@FabianWerner: J'utilise la convention (AFAIK assez standard) selon laquelle nous pouvons omettre le lors de l'écriture du rv , mais bien sûr, ce n'est peut-être pas ce que fait l'article Wikipedia. Vous pouvez être sur quelque chose là-bas.

(ω)

$(\omega)$

A (ω)

$A(\omega)$

— Ilmari Karonen

@Carl: Pourquoi pensez-vous qu'ils seraient des vecteurs de toute sorte? La division par un vecteur n'est généralement pas définie de toute façon, donc pour que l'expression ait un sens, doit à peu près être un scalaire (ou plus précisément une fonction scalaire de l'espace de probabilité, si vous voulez suivre strictement le formalisme standard comme l'a noté Fabian Werner ci-dessus). Je suppose que pourrait être un vecteur, bien que je ne vois aucune raison particulière de supposer qu'il l'est.

A

$A$

B

$B$

— Ilmari Karonen

@Carl: Euh, non. Du moins, sauf si vous travaillez dans un espace de probabilité à trois éléments (généralement, les éléments ou même la taille de l'espace de probabilité ne sont pas explicitement spécifiés, car il s'agit en réalité d'un outil formel pour travailler avec des variables dont les valeurs sont incertaines ) et utilisent une notation amusante pour les fonctions sur cet espace.

Ω

$\Omega$

— Ilmari Karonen

L'algèbre des variables aléatoires (ARV) est une extension de l'algèbre habituelle des nombres "algèbre de lycée". Il doit en être ainsi car les nombres peuvent être intégrés dans l'ARV en tant que rv égal à une constante de probabilité 1. Il ne peut donc pas y avoir d'incohérence, mais il pourrait bien s'agir de nouvelles propriétés qui ne disent rien sur les nombres. Dans l'ARV, l'égalité est une égalité de distribution , c'est donc vraiment une algèbre de distributions. Mais pour la constante de rv avec la probabilité 1, il s'agit d'une extension de l'égalité des nombres au sens habituel.

À propos de l'exemple donné de Wikipédia, il n'y a pas d'incohérence, seulement (peut-être pour quelqu'un) une possibilité surprenante qui se présente car il existe de nombreuses variables aléatoires telles que et ont la même distribution, alors qu'il n'y en a que deux les nombres avec cette propriété, et 1. La distribution de Cauchy a cette propriété, voir Que pouvons-nous dire des distributions de variables aléatoires telles que et son inverse ont la même distribution? . $X$ $X^{-1}$ $-1$ $X$ $X$ $1/X$

— kjetil b halvorsen
source