Distribution du rapport gaussien: les dérivés sous-jacents aux et aux s

Je travaille avec deux distributions normales indépendantes et , avec des moyennes et et des variances et . $X$ $Y$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma^2_x$ $\sigma^2_y$

Je suis intéressé par la distribution de leur rapport . Ni ni n'ont une moyenne de zéro, donc n'est pas distribué comme un Cauchy. $Z=X/Y$ $X$ $Y$ $Z$

Je dois trouver le CDF de , puis prendre la dérivée du CDF par rapport à , , et . $Z$ $\mu_x$ $\mu_y$ $\sigma^2_x$ $\sigma^2_y$

Est-ce que quelqu'un connaît un papier où ceux-ci ont déjà été calculés? Ou comment faire ça moi-même?

J'ai trouvé la formule du CDF dans un article de 1969 , mais prendre ces dérivés sera certainement une énorme douleur. Peut-être que quelqu'un l'a déjà fait ou sait le faire facilement? J'ai principalement besoin de connaître les signes de ces dérivés.

Cet article contient également une approximation analytiquement plus simple si est principalement positif. Je ne peux pas avoir cette restriction. Cependant, peut-être que l'approximation a le même signe que la vraie dérivée même en dehors de la plage de paramètres? $Y$

— abc
source

J'ai ajouté pour vous. Vous avez écrit "sigma" mais avez mentionné qu'il s'agissait de variances, donc je les ai faites sigma au carré. Assurez-vous qu'il indique toujours ce que vous voulez demander.

T E X

$\TeX$

— gung - Réintégrer Monica

en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution a la fonction de densité de probabilité.

— Douglas Zare

C'est le même PDF que dans le document ci-dessus. J'essaie de prendre le dérivé du CDF par rapport aux mus et sigmas sous-jacents.

— ABC

La formule du pdf trouvée par David Hinkley est complètement sous forme fermée. Vous pouvez donc prendre ces dérivés, une étape à la fois. Je suis en fait curieux de savoir à quoi sert de telles dérivations car il n'y a aucune raison pour que le signe soit constant uniformément sur les nombres réels ...

— Xi'an

@ABC Vous pouvez trouver la densité de dans l'équation 1 de cet article . J'y ai travaillé il y a quelque temps et il est d'accord avec le résultat de Hinkley et le résultat de Marsaglia . Cela peut être déduit par la force brute ainsi que le suggère Douglas Zare (je l'ai fait, seulement recommandé si vous en avez vraiment besoin).

X / Y

$X/Y$

Réponses:

Quelques articles liés:

Wiki: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

— Quantum
source

Bienvenue sur le site, @Quantum. Pourriez-vous donner un bref résumé de ces articles, afin que les lecteurs puissent juger s'ils sont ce qu'ils recherchent sans avoir à les ouvrir et les lire chacun?

— gung - Rétablir Monica

@gung Oui, ça me dérange ... Je plaisante. Ce sont les articles les plus récents sur le sujet, contenant l'expression de la densité de , au meilleur de ma connaissance. Le sujet n'est pas si chaud, il est donc probable que cette liste soit à jour à moins que vous ne lisiez ceci l'année 2527.

Z = X / Y

$Z=X/Y$

— Quantum

Quantum - Cela ne répond pas aux préoccupations de @ gung. Les réponses de lien uniquement ne sont généralement pas acceptables. Gung a demandé si vous pouviez «donner un bref résumé de ces documents» (ce qui signifie «dans votre réponse»). Votre description collective dans un commentaire n'est pas suffisante. Veuillez décrire brièvement chaque lien (si possible, individuellement, pas collectivement) qui indiquerait pourquoi vous l'avez inclus / pourquoi il est pertinent. En l'état, votre réponse potentiellement utile risque d'être convertie en commentaire - comme cela s'est déjà produit avec les réponses précédentes à cette question uniquement liées à des liens.

— Glen_b -Reinstate Monica

Je ne comprends pas pourquoi l'attente du ratio n'existe pas. Si et sont distribués normalement normalement avec une moyenne différente de zéro, alors la moyenne de est donnée par , qu'est-ce qui me manque?

X

$X$

Y

$Y$

Z = \frac{X}{Y}

$Z = \frac{X}{Y}$

\int \int \frac{x}{y} p (x, y) d x d y

$\int \int \frac{x}{y} p \left( x, y \right) dx dy$

— Royi

Ce qui vous manque, c'est le fait que la densité de est continue et positive à zéro, de sorte que des queues lourdes sont générées ...

y

$y$

— kjetil b halvorsen

Envisagez d'utiliser un package mathématique symbolique comme Mathematica, si vous avez une licence, ou Sage si vous n'en avez pas.

Si vous ne faites que du travail numérique, vous pouvez également envisager la différenciation numérique.

Bien que fastidieux, il semble simple. Autrement dit, toutes les fonctions impliquées ont des dérivés faciles à calculer. Vous pouvez utiliser la différenciation numérique pour tester votre résultat lorsque vous avez terminé pour vous assurer que vous avez la bonne formule.

— Dave31415
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$\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}

— AaronDefazio
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