Une distribution conjointe 3D peut-elle être reconstruite par des marginaux 2D?

Supposons que nous connaissions p (x, y), p (x, z) et p (y, z), est-il vrai que la distribution conjointe p (x, y, z) est identifiable? Autrement dit, il n'y a qu'un seul p possible (x, y, z) qui a au-dessus des marginaux?

distributions mathematical-statistics

— user1466742
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Connexes: Est-il possible d'avoir une paire de variables aléatoires gaussiennes pour lesquelles la distribution conjointe n'est pas gaussienne? (Cela concerne l'articulation 2D vs les marginaux 1D, mais la réponse et l'intuition sont finalement les mêmes, plus les images dans la réponse de @ Cardinal sont magnifiques.)

— gung - Reinstate Monica

@gung La relation est quelque peu éloignée. La subtilité derrière cette question est la pensée qu'une copule nous montre comment développer des distributions bivariées avec des marginaux donnés. Mais si nous spécifions trois marginaux bivariés pour une distribution trivariée, il doit y avoir des contraintes supplémentaires assez sévères sur cette distribution trivariée: les marginaux univariés doivent être cohérents. La question est alors de savoir si ces contraintes suffisent à cerner la distribution trivariée. Cela en fait une question intrinsèquement plus que bidimensionnelle.

— whuber

@whuber, je comprends que vous dites que les marginaux 2D sont plus contraignants que les marginaux 1D, ce qui est raisonnable. Mon point est que, dans les deux cas, la réponse est que les marginaux ne peuvent pas suffisamment contraindre la distribution conjointe, et que la réponse de Cardinal rend le problème très facile à voir. Si vous pensez que c'est trop une distraction, je peux supprimer ces commentaires.

— gung - Rétablir Monica

@gung J'essaie de dire quelque chose de complètement différent et ce n'est pas facile à voir (sauf si vous êtes très bon en visualisation 3D). Vous souvenez-vous de la couverture de Godel, Escher, Bach de Hofstadter ? (Il est facilement trouvé par Google; je vais peut-être développer ma réponse pour l'inclure.) L'existence de ces deux solides différents avec des ensembles de projections identiques sur les axes de coordonnées est assez étonnante. Cela capture l'idée qu'un ensemble complet de "vues" orthogonales 2D d'un objet 3D ne détermine pas nécessairement l'objet. C'est le nœud du problème.

— whuber

@Gung me permet d'essayer encore une fois. Oui, l'idée que les marginaux ne déterminent pas entièrement une distribution est commune aux deux cas. La complication dans celle-ci - celle qui, je pense, la rend si différente de l'autre - est que les marginaux dans la situation actuelle ne sont en aucun cas indépendants: chaque marginal 2D détermine deux marginaux 1D ainsi qu'une relation forte entre ceux marginaux. Sur le plan conceptuel, cette question pourrait donc être reformulée comme suit: "pourquoi les dépendances des marginaux 2D ne sont-elles pas " transitives "ou" cumulatives "dans le sens de déterminer la distribution 3D complète?"

— whuber

Réponses:

Non Peut-être les plus simples Contre concerne la distribution des trois indépendants des variables , pour lesquelles toutes les huit résultats possibles à partir de par l' intermédiaire sont également probables. Cela rend les quatre distributions marginales uniformes sur $\text{Bernoulli}(1/2)$ $X_i$ $(0,0,0)$ $(1,1,1)$ . $\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$

Considérons les variables aléatoires qui sont uniformément réparties sur l'ensemble . Ceux-ci ont les mêmes marginaux que $(Y_1,Y_2,Y_3)$ $\{(1,0,0),(0,1,0), (0,0,1),(1,1,1)\}$ . $(X_1,X_2,X_3)$

La couverture de Godel, Escher, Bach de Douglas Hofstadter fait allusion aux possibilités.

Les trois projections orthogonales (ombres) de chacun de ces solides sur les plans de coordonnées sont les mêmes, mais les solides diffèrent évidemment. Bien que les ombres ne soient pas tout à fait la même chose que les distributions marginales, elles fonctionnent de manière assez similaire pour restreindre, mais pas complètement déterminer , l'objet 3D qui les projette.

— whuber
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Y 1, Y 2, Y 3

$Y1,Y2,Y3$

Dans le même esprit que la réponse de whuber,

$U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

$U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$ sont un exemple de variables aléatoires normales standard indépendantes par paires mais non indépendantes les unes des autres. Voir ma réponse pour plus de détails.

$X,Y,Z$

\begin{matrix} (2) & f_{X, Y, Z} (u, v, w) = ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w), u, v, w \in R \end{matrix}

$f_{X,Y,Z}(u,v,w) = \phi(u)\phi(v)\phi(w), ~~u,v,w \in \mathbb R \tag{2}$

(1)

$(1)$

— Dilip Sarwate
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Vous demandez essentiellement si la reconstruction CAT est possible en utilisant uniquement des images le long des 3 axes principaux.

Ce n'est pas ... sinon c'est ce qu'ils feraient. :-) Voir la transformation du radon pour plus de documentation.

— user541686
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J'aime l'analogie. Cependant, deux aspects sont troublants. La première est la logique: ce n'est pas parce que la transformation du radon (ou une autre technique) utilise plus de données que les trois marginaux qu'elle a vraiment besoin de toutes ces données. Un autre problème est que les tomodensitogrammes sont intrinsèquement bidimensionnels: ils reconstruisent un corps solide tranche par tranche. (Il est vrai que la transformée de Radon est définie en trois dimensions et plus.) Ainsi, elles ne vont pas vraiment au cœur du problème: nous savons déjà que les marginaux univariés ne suffisent pas pour reconstruire une distribution 2D.

— whuber

@whuber: Je pense que vous avez mal compris ce que je disais ... et le 2D vs 3D est un hareng rouge. J'essayais de dire que l'inverse de la transformée de Radon nécessite l'intégrale complète pour son inversion (c'est-à-dire si vous regardez littéralement la formule d'inversion, vous voyez que l'inversion nécessite une intégrale sur tous les angles, pas une somme sur les angles d ). Le scan CAT était juste pour aider l'OP à voir que c'était le même problème que le scanner.

— user541686

C'est là que la logique s'effondre: ce n'est pas le même problème que le CT. Votre argument ressemble à "tous les véhicules que je vois sur la route utilisent au moins quatre roues. Par conséquent, le transport terrestre avec moins de quatre roues est impossible, car si c'était possible, alors les gens utiliseraient moins de roues pour réduire les coûts des pneus". Si vous en doutez, regardez simplement les plans d'une voiture. " Soit dit en passant, la transformation telle qu'elle est implémentée dans un scanner CT ne s'intègre pas sous tous les angles - la mesure de l'ensemble d'angles qu'elle utilise est nulle!

— whuber

@whuber: Oubliez le truc CT pendant un moment. Êtes-vous d'accord avec le reste de la logique?

— user541686