Binômes négatifs concurrents

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Je jette un dé juste. Quelle est la distribution de probabilité du nombre de rouleaux jusqu'à ce que j'accumule d'abord: 1) Cinq uns 2) 20 occurrences de faces qui ne sont pas une?

Je suis heureux de partager l'application réelle si cela peut vous aider.

probability negative-binomial

— Alec Walker
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Cela a-t-il une application autre que l'obtention d'une bonne note pour les devoirs ou un examen à domicile?

— Mark L. Stone

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Désolé. Je pense que j'ai mal compris la nature du site. Je ne suis ni étudiant ni statisticien professionnel. Je cherchais des conseils sur un problème réel.

— Alec Walker

Il a été conçu de manière à ce que cela ressemble à un problème de manuel, et cela amène souvent les gens à penser que vous essayez d'amener les gens à faire leurs devoirs. Cependant, ce n'est pas seulement pour cette raison qu'il vaut mieux ne pas trop résumer (textifier) le problème - il y a souvent des aspects du problème original qui peuvent être importants pour envisager une solution qu'une affiche, ignorant qu'il pourrait y en avoir problème statistique qui lui est lié, a simplement fait abstraction et dont aucune trace ne subsiste.

— Glen_b -Reinstate Monica

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Vous effectuez l'équivalent de lancer une pièce avec une probabilité $p=1/6$ de têtes jusqu'à ce que $a=5$ têtes ou $b=20$ des queues ("non-têtes") sont apparues. Si vous l'avez jeté $n$ fois, la chance que cet événement ne se produise pas est donnée par la distribution binomiale comme

S (n; a, b, p) = \sum_{k = max (0, n - b + 1)}^{min (n, a - 1)} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

$S(n;a,b,p) = \sum_{k=\max(0,n-b+1)}^{\min(n,a-1)} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k}.$

(La somme est égale à zéro chaque fois que sa limite inférieure dépasse sa limite supérieure.)

Par conséquent, la chance que soit le lancer lorsque l' on observe tête ou une queue est $n\gt 0$ $a$ $b$

f (n; a, b, p) = S (n - 1; a, b, p) - S (n; a, b, p) .

$f(n;a,b,p) = S(n-1;a,b,p) - S(n;a,b,p).$

Évidemment, cela doit être égal à pour ou . On peut donc facilement rendre compte de la distribution entière: voici le tracé de sa fonction de probabilité entre et calculé par ces formules: $0$ $n \lt \min(a,b)$ $n \ge a+b$ $f$ $0$ $a+b=25,$

Cette solution simple devient encore plus simple (et fournit des informations supplémentaires pour savoir si les lancers se terminent par tête ou une queue ) lorsque nous reconnaissons que la question peut être formulée comme une marche aléatoire dans le plan . $a$ $b$ $(x,y)$

Commencez à l'origine . À chaque fois que la pièce monte en tête, déplacez une unité vers le haut; sinon, déplacez une unité vers la droite. Arrêtez la première fois que l'une des barrières absorbantes ou est touchée. $(0,0)$ $y=a$ $x=b$

La géométrie de cette situation est représentée sur la deuxième figure. Il trace les points qui peuvent être atteints lors de cette promenade, montrant les barrières absorbantes sous forme de lignes noires. Les points terminaux possibles le long de ces barrières sont marqués de points noirs.

Le nombre de fois où chaque point terminal a été atteint en 1000 itérations de cette marche est représenté par les couleurs et les tailles des points plus grands. Le chemin indiqué en rouge correspond à une séquence dans laquelle une queue a été observée, puis une tête, puis 10 queues, une tête, une queue, deux têtes, quatre queues et une tête. Il comprenait 21 lancers de pièces au total.

Chaque chemin qui atteint un point particulier sur la barrière absorbante se compose de queues et de têtes et a donc une chance de . De toute évidence, le dernier résultat de tout chemin qui se termine en était une tête. Le nombre de ces chemins est donc le nombre de chemins distincts reliant à , dont il y a . Par conséquent, la chance de se terminer en est $(x,y)$ $x$ $y$ $p^y(1-p)^x$ $(x,a)$ $(0,0)$ $(x,a-1)$ $\binom{x+a-1}{a-1}$ $(x,a)$

Pr (x, a) = (\binom{x + a - 1}{a - 1}) p^{a} (1 - p)^{x} .

$\Pr(x,a) = \binom{x+a-1}{a-1} p^{a}(1-p)^x.$

De même, la chance de se terminer en est $(b,y)$

Pr (b, y) = (\binom{y + b - 1}{b - 1}) p^{y} (1 - p)^{b} .

$\Pr(b,y) = \binom{y+b-1}{b-1} p^y(1-p)^b.$

La chance de terminer après étapes, avec , est donc la somme de deux de ces expressions (dont l'une peut être zéro): $n$ $\min(a,b)\le n \lt a+b-1$

f (n; a, b, p) = (\binom{n - 1}{a - 1}) p^{a} (1 - p)^{n - a} + (\binom{n - 1}{b - 1}) p^{n - b} (1 - p)^{b} if min (a, b) \leq n < a + b .

$f(n;a,b,p) = \binom{n-1}{a-1} p^a(1-p)^{n-a} + \binom{n-1}{b-1} p^{n-b}(1-p)^b\text{ if }\min(a,b)\le n \lt a+b.$

Cela compte le nombre de chemins à étapes qui atteignent la barrière absorbante en haut ou à droite, respectivement, en pondérant chacun par sa probabilité. $n$

Le saut soudain de probabilité à dans la première figure est maintenant expliqué: $n=20$ pour la première fois (par rapport aux valeurs plus petites de ), il devient possible de mettre fin aux lancers à la barrière de droite. Cela se produit dans un grand nombre de cas, car il est (légèrement) plus probable que la barrière de droite soit atteinte avant la barrière supérieure. (La chance d'atteindre d'abord la barrière de droite est facilement trouvée en additionnant les probabilités associées à ses cinq points, soit près de .) Nous savons que terminer la marche à la barrière de droite est plus probable car en moyenne, un chemin va monter d'une unité du temps mais se déplacera vers la droite d'une unité $n$ $63\%$ $p=1/6$ $1-p=5/6$ du temps, pour une pente moyenne de . Un chemin avec cette pente atteint la région absorbante à l'emplacement : sur la barrière de droite. $1/6:5/6 = 1/5$ $(20, 20/5)=(20,4)$

— whuber
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Charmant, les deux solutions. Le second ressemble à la somme des binômes négatifs à deux composantes, dans la plage min (a, b) ≤n <a + b,

— Alec Walker

Cela fait. La connexion devient encore plus apparente lorsque vous interprétez un binôme négatif en termes de marche aléatoire avec une barrière d'absorption linéaire.

— whuber

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Ayant dormi dessus, je pense que la stratégie peut être la suivante:

Convertissez chacune des distributions de probabilités binomiales négatives en probabilités conditionnelles. c'est-à-dire à condition de ne pas en avoir obtenu 5 en n-1, quelle est la probabilité d'en obtenir un 5ème au nème rouleau?

De n = 1 à suffisamment grand,

additionner les deux probabilités conditionnelles et multiplier le complément par S (n-1), la "survie" cumulée à travers le (n-1) e rouleau.
Prendre des différences successives S (n-1) -S (n) pour récupérer la distribution de probabilité.

Le cadre est une surveillance comparative de la sécurité des produits de santé commercialisés. Vous avez deux groupes comparés, peut-être de taille inégale, suivis au fil du temps. Chaque événement indésirable est un essai binomial, car l'événement peut dériver du médicament A ou du médicament B.

— Alec Walker
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Bien que cette approche soit trop vaguement décrite pour être évaluée, elle ne donne probablement pas tout à fait la bonne réponse, car de telles combinaisons d'objectifs dans des procédures séquentielles ont tendance à impliquer des subtilités contre-intuitives. Voir stats.stackexchange.com/questions/12174 pour une généralisation de votre question.

— whuber

Non seulement vague, mais faux! Merci pour vos explications lucides.

— Alec Walker