Les probabilités conditionnelles - sont-elles propres au bayésianisme?

Je me demande si les probabilités conditionnelles sont propres au bayésianisme, ou si elles sont davantage un concept général partagé par plusieurs écoles de pensée parmi les statisticiens / probabilités.

Je suppose que c'est le cas, parce que je suppose que personne ne peut est un peu logique, donc je pense que les habitués seraient au moins théoriquement d'accord, tout en mettant en garde contre le bayésien déduire davantage par des raisons pratiques et non par des probabilités conditionnelles.$p(A,B) = p(A|B)p(B)$

Pour empiler sur les autres réponses parfaitement adéquates, les exemples de modèles de probabilité conditionnelle abondent en modèles linéaires et linéaires généralisés puisque la définition de ces modèles est conditionnelle aux régresseurs ou covariables:

$$Y|X \sim f(y;g(X^\text{T}\beta),\sigma)$$

Et la notion de distributions de probabilités conditionnelles est définie dans la théorie des mesures sans référence aux statistiques et encore moins au «bayésianisme». Par exemple, Rényi a construit une théorie des probabilités à partir de versions conditionnelles. Notez également que dans la théorie des mesures formelles, le conditionnement concerne un -field plutôt qu'un événement. L' attente conditionnelle est alors une fonction telle que pour tous fonctions mesurables . (Comme illustré par le concept de martingalesS E [ X | S ] S E S { [ X - E [ X | S ] Z } = 0 S$\sigma$$\mathfrak{S}$ $\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]$$\mathfrak{S}$

$$\mathbb{E}^{\mathfrak{S}}\{[X-\mathbb{E}[X|\mathfrak{S}]Z\}=0$$ $\mathfrak{S}$$Z$.)

Comme pour toute théorie des probabilités , la probabilité conditionnelle n'a rien à voir avec les statistiques bayésiennes vs fréquentistes. Même le théorème de Bayes n'est pas «bayésien», mais est un théorème général sur la probabilité, par exemple, il peut être utilisé pour corriger les probabilités du taux de base , sans aucun a priori, ou une interprétation bayésienne subjective pour la probabilité .

Si vous demandez "quelle est la probabilité d'obtenir le poste d'ingénieur de base de données étant donné que vous êtes une femme?", Ou "quelle est la probabilité que vous soyez séropositif étant donné que le test Western blot était positif?", Alors vous vous interrogez sur le conditionnel probabilités. Modèles de régression logistique probabilité conditionnelle, etc.

Voir aussi Y a-t-il une base * mathématique * pour le débat bayésien vs fréquentiste? et interprétations bayésiennes vs fréquentistes de la probabilité

Les méthodes fréquentistes utilisent également des probabilités conditionnelles. Une valeur p est une probabilité conditionnelle. Le seul problème est que ce n'est pas une probabilité conditionnelle très utile ou intuitive. Si nous calculons un coefficient de corrélation et que notre machine crache «p = 0,03», ce qu'elle dit réellement est:

$p(D^*|H_0) = .03$

Où fait référence aux données observées ou à des données plus extrêmes (c'est-à-dire des données qui produisent le résultat observé ou un résultat plus fort dans la même direction) et est l'hypothèse nulle (et toutes les hypothèses qui vont avec).H $D^*$$H_0$

Conditionnée à l'hypothèse nulle, la probabilité que nous observions nos données ou des données plus extrêmes est de 0,03. C'est une probabilité conditionnelle complètement absente du théorème de Bayes. C'est juste, à mon avis, généralement pas aussi utile (sauf si vous essayez vraiment d'obtenir cette probabilité pour une raison ou une autre).

Je ne pense pas qu'il soit juste de dire que les probabilités conditionnelles sont propres au bayésianisme.

(Mesurez les experts en théorie, n'hésitez pas à me corriger.)

Vous pouvez afficher une probabilité conditionnelle, en particulier lorsque vous avez des résultats tout aussi probables, en basant votre calcul de probabilité sur un sous-ensemble , où est l'espace d'échantillonnage.$\Omega^{\prime} \subset \Omega$$\Omega$

Par exemple, considérons certaines données fictives recueillies (NB: nous n'avons pas d'informations "préalables") dans une enquête:

$$\begin{array}{|l|c|c|} \hline & \text{Male} & \text{Female} \\ \hline \text{Owns a TV} & 75 & 72 \\ \text{Does not own a TV} & 25 & 28 \\ \hline \end{array}$$ Supposons que la probabilité de choisir l'une des personnes interrogées ci-dessus est également probable. Considérez l'espace échantillon de toutes les personnes interrogées et laissez , où est une -algebra non vide de sous-ensembles de .$\Omega$$\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0, 1]$$\mathcal{A}$$\sigma$$\Omega$

Par définition d'un événement tout aussi probable, pour tout événement , oùdésigne la cardinalité définie.$A \in \mathcal{A}$

$$\mathbb{P}(A) = \dfrac{|A|}{|\Omega|}$$ $|\cdot|$

Si nous étions intéressés par, disons, la probabilité de posséder un téléviseur étant donné que vous êtes une femme, en laissant être l'événement d'être une femme et étant l'événement de posséder un téléviseur, nous calculerions la probabilité comme et nous soignons notre nouvel espace d'échantillon . Mais notez que nous pouvons écrire C'est précisément la définition de la probabilité conditionnelle, et n'utilise pas le théorème de Bayes. Tout ce que nous faisons, c'est restreindre notre espace d'échantillonnage.$A$$B$

$$\dfrac{|A \cap B|}{|A|}$$ $A$$\Omega^{\prime} = A$ $$\dfrac{|A \cap B|}{|A|} = \dfrac{|A \cap B|/|\Omega|}{|A|/|\Omega|} = \dfrac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(A)}$$

Je suis un peu en retard à cette fête en particulier, mais j'ai pensé que j'ajouterais une réponse plus philosophique aux autres excellentes réponses ici, au cas où cela pourrait être utile pour les futurs chercheurs.

Si vous êtes un fréquentiste hypothétique, la définition de la probabilité conditionnelle découle de la loi limite de division. Explicitement, soit le nombre de fois où est vrai dans essais et soit le nombre de fois où est vrai dans essais. On définit et Enfin, soit la fraction des fois où est vrai que est également vrai, dans la limite infinie: $f_N (A \land E)$$A\land E$$N$$f_N (E)$$E$$N$

$$p(A\land E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{N}$$ $$p (E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (E)}{ N}$$ $p(A | E )$$E$$A$ $$p (A | E) := \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)}{f_N (E)}$$ En supposant que est non nul, nous avons $p(E)$ $$p (A | E) = \lim_{N\to \infty} \frac{f_N (A\land E)/ N}{f_N (E)/N} = \frac{\lim_{N\to \infty} f_N (A\land E) / N}{\lim_{N\to \infty} f_N (E)/ N } = \frac{p(A\land E)}{p(E)}.$$