La somme de la combinaison linéaire du produit des exponentielles est exponentielle

Ce problème est apparu dans mes recherches: supposons que $V_i \sim \text{ED}$ sont les distributions exponentielles iid (ED) avec la moyenne $1$ et laisse $\lambda$être un nombre non négatif. Est-il vrai que

$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}V_{0} \cdots V_k}{k!} \sim \text{ED}?$$ Cela passe le test de santé mentale, car la valeur attendue des deux côtés est égale à $1$et si on laisse $\lambda = 0$, alors le côté gauche est égal à $V_0$, qui est exponentielle. À part cela, je ne sais pas comment aborder ce problème, car je ne sais pas comment traiter le produit des DE.

Pas une réponse complète, désolé, mais quelques idées (trop de temps pour un commentaire). Notez que ce que vous avez est un produit de$K+1$ iid variables aléatoires, où $K$ est une variable aléatoire (rv) avec une distribution de poisson avec paramètre $\lambda$. Cela peut être utilisé pour un autre "contrôle de santé mentale", une simulation (en utilisant des exponentielles de taux 1):

set.seed(7*11*13)
N <- 1000000

prods <- rep(0, N)
ks <- rpois(N, 1)+1

for (i in 1:N) {
    k  <-  ks[i]
    prods[i]  <-  prod( rexp(k, 1))
}

qqplot( qexp(ppoints(N)), prods)

Le résultat qqplot(non illustré ici) est loin d'être une ligne droite, donc cela ne semble pas être une exponentielle de taux 1. La moyenne est juste, la variance à grande, il y a une queue droite beaucoup plus longue que pour une exponentielle. Que peut-on faire théoriquement? La transformée de Mellin https://en.wikipedia.org/wiki/Mellin_transform est adaptée aux produits de variables aléatoires indépendantes. Je vais calculer uniquement pour l'exponentielle de taux 1. La transformée de Mellin de$V_0$ alors c'est

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M_1(s) = \E V_0^s = \int_0^\infty x^s e^{-x}\; dx = \Gamma(s+1)$$ de sorte que la transformation de Mellin d'un produit de $k+1$ exponentielles iid est $$M_{k+1}(s) = \Gamma(s+1)^{k+1}$$ Depuis $K$ a une distribution de poisson avec paramètre $\lambda$, la transformée de Mellin du produit aléatoire d'un nombre aléatoire $K+1$ facteurs, est $$M(s) = \E M_{K+1}(s) = \E \Gamma(s+1)^{K+1}= \Gamma(s+1)e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!}\Gamma(s+1)^k=e^{-\lambda}\Gamma(s+1) e^{\lambda \Gamma(s+1)}$$ mais je ne trouve pas d'inverse de cette transformation. Mais notez que si$X$ est une variable aléatoire non négative avec transformée de Mellin $M_X(t)$, puis définissant $Y=\log X$ nous constatons que $$K_Y(t)=\E e^{tY} = \E e^{t\log X}=\E e^{\log (X^t)}=\E X^t =M_X(y)$$ de sorte que la transformation de Mellin $X$ est la fonction de génération de moment de son logarithme $Y$. Donc, en utilisant cela, nous pouvons approximer la distribution de$X$avec les méthodes d'approximation de saddlepoint, comment fonctionne l'approximation de saddlepoint? et recherchez ce site.