Si la somme des probabilités des événements est égale à la probabilité de leur union, cela implique-t-il que les événements sont disjoints?

Axiomatiquement, la probabilité est une fonction qui attribue un nombre réel à chaque événement A s'il satisfait aux trois hypothèses fondamentales (hypothèses de Kolmogorov):P ( A ) $P$$P(A)$$A$

1. $P(A) \geq 0 \ \text{for every} A$
2. $P(\Omega) = 1$
3. $\text{If} \ A_1, A_2, \cdots \text{are disjoint, then}\\ P\left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right) = \sum\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i)$

Ma question est, dans la dernière hypothèse, l'inverse est-il supposé? Si je montre que les probabilités d'un certain nombre d'événements peuvent être ajoutées pour obtenir la probabilité de leur union, puis-je utiliser directement cet axiome pour affirmer que les événements sont disjoints?

Non, mais vous pouvez conclure que la probabilité de tout événement partagé est nulle.

Disjoint signifie que pour tout . Vous ne pouvez pas conclure cela, mais vous pouvez conclure que pour tout . Tout élément partagé doit avoir une probabilité nulle. Il en va de même pour toutes les intersections d'ordre supérieur.i ≠ j P ( A i ∩ A j ) = 0 i ≠ $A_i \cap A_j=\emptyset$$i\ne j$$P(A_i \cap A_j)=0$$i\ne j$

En d'autres termes, vous pouvez dire, avec la probabilité 1, qu'aucun des ensembles ne peut se produire ensemble. J'ai vu de tels ensembles appelés presque disjoints ou presque sûrement disjoints, mais une telle terminologie n'est pas standard, je pense.

Par exemple, ne considérez pas vraiment la distribution uniforme.

Soit et et pour .A 2 = [ 0,5 , 1 ] ∪ ( Q ∩ [ 0 , 1 ] ) A i = ∅ i > $A_1 = [0,0.5) \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_2=[0.5,1] \cup (\mathbb{Q} \cap [0,1])$$A_i =\emptyset$$i>2$

P ( A 2 ) = 0,5 1 A 1 ∩ A 2 ≠ $P(A_1)=0.5$ et et ils totalisent mais ils ne sont pas disjoints. .$P(A_2)=0.5$$1$$A_1 \cap A_2 \neq \emptyset$

Ils peuvent toujours croiser la mesure de probabilité .$0$