Pourquoi un estimateur est-il considéré comme une variable aléatoire?

Ma compréhension de ce qu'est un estimateur et une estimation: Estimateur: Une règle pour calculer une estimation Estimation: La valeur calculée à partir d'un ensemble de données basé sur l'estimateur

Entre ces deux termes, si on me demande de souligner la variable aléatoire, je dirais que l'estimation est la variable aléatoire car sa valeur changera de façon aléatoire en fonction des échantillons de l'ensemble de données. Mais la réponse qui m'a été donnée est que l'estimateur est la variable aléatoire et que l'estimation n'est pas une variable aléatoire. Pourquoi donc ?

— Kanmani
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Réponses:

Un peu lâchement - j'ai une pièce de monnaie devant moi. La valeur du prochain lancer de la pièce (prenons {Head = 1, Tail = 0} disons) est une variable aléatoire.

Il a une certaine probabilité de prendre la valeur ( si l'expérience est "passable"). $1$ $\frac12$

Mais une fois que je l'ai jeté et observé le résultat, c'est une observation, et cette observation ne varie pas, je sais ce que c'est.

Considérez maintenant que je lancerai la pièce deux fois ( ). Ces deux variables sont aléatoires, tout comme leur somme (le nombre total de têtes en deux lancers). Il en est de même de leur moyenne (la proportion de tête en deux lancers) et de leur différence, etc. $X_1, X_2$

Autrement dit, les fonctions des variables aléatoires sont à leur tour des variables aléatoires.

Un estimateur - qui est une fonction de variables aléatoires - est donc lui-même une variable aléatoire.

Mais une fois que vous avez observé cette variable aléatoire - comme lorsque vous observez un tirage au sort ou toute autre variable aléatoire - la valeur observée n'est qu'un nombre. Cela ne varie pas - vous savez ce que c'est. Donc, une estimation - la valeur que vous avez calculée sur la base d'un échantillon est une observation sur une variable aléatoire (l'estimateur) plutôt qu'une variable aléatoire elle-même.

— Glen_b -Reinstate Monica
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+1, le fil qui mérite d'être mentionné est: stats.stackexchange.com/questions/7581/…

— Tim

mais une fois que nous observons, pourquoi est-ce une estimation? il n'y a rien à estimer après observation?

— Parthiban Rajendran

Il s'agit d'une estimation d'un paramètre de population non observé. Par exemple, dans l'expérience de lancer de pièces où vous ne savez pas si la pièce est juste, le nombre moyen de têtes observé sur lancers est une estimation appropriée de la probabilité d'une tête.

n

$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

Je suis vraiment confus maintenant parce que @Tim a lié un fil qui disait explicitement qu'un estimateur n'est pas une variable aléatoire

— Colin Hicks

Si vous avez une fonction (disons avec un argument vectoriel), , alors n'est qu'une fonction, mais la valeur de cette fonction lorsque est appliquée à une collection de variables ( ) dont les composants sont des variables aléatoires (homologues pouvant correspondre à une procédure d'échantillonnage aléatoire sur une population), alors sera une variable aléatoire. Si vous deviez définir comme estimateur, alors n'est qu'une fonction. Mais si vous appelez l'estimateur, alors est une variable aléatoire. Strictement cette dernière utilisation (comme je l'ai ci-dessus) est plutôt lâche (mais assez courante). ... ctd

g

$g$

g

$g$

g

$g$

X = (X_{1}, X_{2}, . . ., X_{n})

$X=(X_1,X_2,...,X_n)$

T = g (X)

$T=g(X)$

g

$g$

g

$g$

T

$T$

T

$T$

— Glen_b -Reinstate Monica

Mes compréhensions:

Un estimateur n'est pas seulement une fonction, dont l'entrée est une variable aléatoire et génère une autre variable aléatoire, mais aussi une variable aléatoire, qui n'est que la sortie de la fonction. Quelque chose comme , lorsque nous parlons de , nous entendons à la fois la fonction et le résultat . $y=y(x)$ $y$ $y()$ $y$
Exemple: un estimateur , nous voulons dire à la fois , qui est une fonction, et son résultat , qui est une variable aléatoire. $\overline X=\mu(X_1,X_2,X_3)=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}$ $\mu()$ $\overline X$
La différence entre l'estimateur et l'estimation se situe environ avant l'observation ou après l'observation.
En fait, semblable à un estimateur, une estimation est à la fois une fonction et une valeur (la sortie de la fonction). Mais l'estimation se situe dans le contexte de l'après observation, et en revanche, l'estimateur se situe dans le contexte de avant l'observation.

Une image illustre l'idée ci-dessus:

J'ai étudié cette question pendant mon week-end, après avoir lu beaucoup de matériel sur Internet, je suis toujours confus. Bien que je ne sois pas complètement sûr que ma réponse soit juste, il me semble que c'est la seule façon de tout donner un sens.

— dawen
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+1 Vous faites de bonnes distinctions. Étant donné votre intérêt et votre dévouement, pourrais-je recommander de consulter un bon manuel plutôt que de dépendre entièrement d'Internet? Les manuels peuvent approfondir un sujet de manière cohérente, tandis que la profondeur et la cohérence sont très difficiles à trouver en ligne.

— whuber

salut whuber, je recommande fortement ce newonlinecourses.science.psu.edu/stat414 en tant que matériel d'apprentissage de premier cycle sur les probabilités et les statistiques, et All of Statistics de Larry est également un bon livre pour le débutant. Presque tous mes professeurs de statistique recommandent les statistiques mathématiques par j. shao comme manuel de niveau supérieur. Je suis d'accord avec vous que la cohérence et la profondeur sont très importantes pour l'apprentissage, je pense que les manuels et les cours sont pour la cohérence alors que wiki et StackExchange sont pour la profondeur.

— dawen