Ce qui est plus élevé,

9

J'ai donc eu un test de probabilité et je ne pouvais pas vraiment répondre à cette question. Il a juste demandé quelque chose comme ceci:

"En considérant que est une variable aléatoire, , utilisez l'inégalité correcte pour prouver ce qui est supérieur ou égal, ou . $X$ $X$ $\geqslant$ $0$ $E(X^2)^3$ $E(X^3)^2$

La seule chose que je pouvais penser était l'inégalité de Jensen, mais je ne sais pas vraiment comment l'appliquer ici.

probability self-study probability-inequalities

— Tricolore
source

1

Essayez plutôt l'inégalité de Holder.

— jbowman

1

Veuillez ajouter la balise d'autoformation.

— Michael R. Chernick

2

Le fil sur stats.stackexchange.com/questions/244202/… généralise cette question: il suffit de prendre la sixième racine des deux côtés pour l'appliquer.

— whuber

2

S'il vous plaît voir la discussion des questions de style devoirs dans le centre d'aide

— Glen_b -Reinstate Monica

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Cela peut en effet être prouvé par l'inégalité de Jensen.

Astuce : Notez que pour la fonction est convexe dans (C'est là que vous utilisez l'hypothèse ). Alors l'inégalité de Jensen donne et pour , c'est le dans l'autre sens. $\alpha > 1$ $x^{\alpha}$ $\left[0, -\infty\right)$ $X \ge 0$

E {[Y]}^{α} \leq E [Y^{α}]

$\mathbb{E}\left[Y\right]^{\alpha} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right]$

α < 1

$\alpha < 1$

Maintenant, transformez les variables en quelque chose de comparable et trouvez le approprié . $\alpha$

— tmrlvi
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5

L'inégalité de Lyapunov (voir: Casella et Berger, inférence statistique 4.7.6):

Pour : $1 < r < s < \infty$

E [| X |^{r}]^{\frac{1}{r}} \leq E [| X |^{s}]^{\frac{1}{s}}

$\mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Preuve :

Par l'inégalité de Jensens pour convexe : $\phi(x)$ $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Considérons , puis où $\phi(Y) = Y^t$ $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ $Y = |X|^r$

Remplacez : $t = \frac{s}{r}$ $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

En général pour cela implique: $X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

— droits
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2

Supposons que X ait une distribution uniforme sur [0,1] puis E (X ) = et donc E (X ) = et E ( X ) = donc E (X ) = . Donc dans ce cas E (X ) > E (X ) . Pouvez-vous généraliser cela ou trouver un contre-exemple? $^2$ $\frac{1}{3}$ $^2$ $^3$ $\frac{1}{27}$ $^3$ $\frac{1}{4}$ $^3$ $^2$ $\frac{1}{16}$ $^3$ $^2$ $^2$ $^3$

— Michael R. Chernick
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Réponse très vague. Il est demandé au PO de prouver la bonne déclaration. Il n'y a aucun contre-exemple.

— Zhanxiong