Ce qui est plus élevé,


9

J'ai donc eu un test de probabilité et je ne pouvais pas vraiment répondre à cette question. Il a juste demandé quelque chose comme ceci:

"En considérant que est une variable aléatoire, 0 , utilisez l'inégalité correcte pour prouver ce qui est supérieur ou égal, E (X ^ 2) ^ 3 ou E (X ^ 3) ^ 2 .XX 0E(X2)3E(X3)2

La seule chose que je pouvais penser était l'inégalité de Jensen, mais je ne sais pas vraiment comment l'appliquer ici.


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Essayez plutôt l'inégalité de Holder.
jbowman

1
Veuillez ajouter la balise d'autoformation.
Michael R. Chernick

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Le fil sur stats.stackexchange.com/questions/244202/… généralise cette question: il suffit de prendre la sixième racine des deux côtés pour l'appliquer.
whuber

2
S'il vous plaît voir la discussion des questions de style devoirs dans le centre d'aide
Glen_b -Reinstate Monica

Réponses:


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Cela peut en effet être prouvé par l'inégalité de Jensen.

Astuce : Notez que pour la fonction est convexe dans (C'est là que vous utilisez l'hypothèse ). Alors l'inégalité de Jensen donne et pour , c'est le dans l'autre sens.α>1xα[0,)X0

E[Y]αE[Yα]
α<1

Maintenant, transformez les variables en quelque chose de comparable et trouvez le approprié .α


5

L'inégalité de Lyapunov (voir: Casella et Berger, inférence statistique 4.7.6):

Pour : E [ | X | r ] 11<r<s<

E[|X|r]1rE[|X|s]1s

Preuve :

Par l'inégalité de Jensens pour convexe :ϕ ( E X ) E [ ϕ ( x ) ]ϕ(x)ϕ(EX)E[ϕ(x)]

Considérons , puis où ( E [ Y ] ) tE [ Y t ] Y = | X | rϕ(Y)=Yt(E[Y])tE[Yt]Y=|X|r

Remplacez : (E[|X|r]) st=sr(E[|X|r])srE[|X|rsr] E[|X|r]1rE[|X|s]1s

En général pour cela implique:X>0

E[X](E[X2])12(E[X3])13(E[X4])14


2

Supposons que X ait une distribution uniforme sur [0,1] puis E (X ) = et donc E (X ) = et E ( X ) = donc E (X ) = . Donc dans ce cas E (X ) > E (X ) . Pouvez-vous généraliser cela ou trouver un contre-exemple?12 2311323 311273 3211432 32231163223


Réponse très vague. Il est demandé au PO de prouver la bonne déclaration. Il n'y a aucun contre-exemple.
Zhanxiong
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