Qu'est-ce que cela signifie avec l' algèbre générée par une variable aléatoire?

Souvent, au cours de mon (auto) étude des statistiques, j'ai rencontré la terminologie " -algèbre générée par une variable aléatoire". Je ne comprends pas la définition sur Wikipédia , mais surtout je ne comprends pas l'intuition. Pourquoi / quand avons-nous besoin de algèbres générées par des variables aléatoires? Quelle est leur signification? Je sais ce qui suit: $\sigma$ $\sigma-$

une -algèbre sur un ensemble est une collection non vide de sous-ensembles de qui contient , est fermée sous complément et sous union dénombrable. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\Omega$
nous introduisons -algebras pour construire des espaces de probabilité sur des espaces échantillons infinis. En particulier, si est infiniment infini, nous savons qu'il peut exister des sous-ensembles non mesurables (ensembles pour lesquels nous ne pouvons pas définir de probabilité). Ainsi, nous ne pouvons pas simplement utiliser l'ensemble de puissance de comme ensemble d'événements . Nous avons besoin d'un ensemble plus petit, qui est encore assez grand pour que nous puissions définir la probabilité d'événements intéressants, et nous pouvons parler de convergence d'une séquence de variables aléatoires. $\sigma$ $\Omega$ $\Omega$ $\mathcal{P}(\Omega)$ $\mathcal{F}$

En bref, je pense avoir une bonne compréhension intuitive des algèbres. Je voudrais avoir une compréhension similaire pour les algèbres générées par des variables aléatoires: définition, pourquoi nous en avons besoin, intuition, un exemple ... $\sigma-$ $\sigma-$

probability random-variable sigma-algebra

— DeltaIV
source

Une caractérisation efficace (et intuitivement significative) est qu'il s'agit de l'algèbre sigma la plus grossière sur qui rend la variable aléatoire mesurable.

Ω

$\Omega$

— whuber

@whuber plus grossier signifie plus petit? En d'autres termes, j'ai mon espace de probabilité , j'ai un RV (qui est mesurable par définition de variable aléatoire), et est le plus petit sous-ensemble de tel que est toujours mesurable. D'accord, mais cela pose la question de savoir ce que signifie intuitivement que est mesurable :-) serait-il logique de dire que nous pouvons définir la probabilité de tous les événements du type et unions / intersections?

(Ω, F, P)

$(\Omega,\mathcal{F},P)$

X : Ω \to R

$X:\Omega\to\mathcal{R}$

σ

$\sigma$

F

$\mathcal{F}$

X

$X$

X

$X$

a < X < b

$a\lt X \lt b$

— DeltaIV

Regarder un seul à la fois donne peu d'intuition concernant la mesurabilité. Ce concept prend tout son sens lorsque vous étudiez des ensembles de variables aléatoires - processus stochastiques. À leur tour, les processus stochastiques les plus simples (tels que les marches aléatoires binomiales discrètes finies) fournissent un cadre interprétable dans lequel l'algèbre sigma générée par toutes les variables peut être considérée comme "les informations disponibles jusqu'à ( et y compris) le temps . "

X

$X$

X_{0}, X_{1}, \dots, X_{t}

$X_0, X_1, \ldots, X_t$

t

$t$

— whuber

@whuber désolé, je ne comprends pas :) Je vous serais reconnaissant si vous pouviez me pointer vers une autre réponse de votre part où vous allez plus en détail, ou si vous souhaitez développer cela comme réponse. Sinon, ne vous inquiétez pas - peut-être que je ne connais pas suffisamment les processus stochastiques pour comprendre votre point de vue. Mais j'ai besoin de perfectionner mes compétences en réseau bayésien dynamique, donc si cette intuition aide lorsque je travaille sur des séries chronologiques, je serais très intéressé.

— DeltaIV

Voir stats.stackexchange.com/a/123754/919 . Les stats.stackexchange.com/a/164995/919 et stats.stackexchange.com/a/74339/919 peuvent également être utiles .

— whuber

Considérons une variable aléatoire . Nous savons que n'est rien d'autre qu'une fonction mesurable de dans , où sont les ensembles Borel de la ligne réelle. Par définition de la mesurabilité, nous savons que nous avons $X$ $X$ $\left(\Omega, \mathcal{A} \right)$ $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R})$

X^{- 1} (B) \in A, \forall B \in B (R)

$X^{-1} \left(B \right) \in \mathcal{A}, \quad \forall B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$

Mais en pratique, les pré-images des ensembles de Borel peuvent ne pas être toutes de mais au contraire, elles peuvent en constituer un sous-ensemble beaucoup plus grossier. Pour voir cela, définissons $\mathcal{A}$

Σ = {S \in A : S = X^{- 1} (B), B \in B (R)}

$\mathcal{\Sigma} = \left\{ S \in \mathcal{A}: S = X^{-1}(B), \ B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}) \right\}$

En utilisant les propriétés des pré-images, il n'est pas trop difficile de montrer que est une algèbre sigma. Il s'ensuit également immédiatement que , donc est une sous-sigma-algèbre. De plus, par les définitions, il est facile de voir que le mappage est mesurable. est en fait la plus petite algèbre sigma qui fait de une variable aléatoire comme toutes les autres algèbres sigma de ce type incluraient à tout le moins $\mathcal{\Sigma}$ $\mathcal{\Sigma} \subset \mathcal{A}$ $\mathcal{\Sigma}$ $X: \left( \Omega, \mathcal{\Sigma} \right) \to \left( \mathbb{R}, \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right) \right)$ $\mathcal{\Sigma}$ $X$ $\mathcal{\Sigma}$ . Pour la raison pour laquelle nous avons affaire à préimages de la variable aléatoire , nous appelons sigma-algèbre induite par la variable aléatoire . $X$ $\mathcal{\Sigma}$ $X$

Voici un exemple extrême: considérons une variable aléatoire constante , c'est-à-dire . Alors est égal à ou selon que . L'algèbre sigma ainsi générée est triviale et en tant que telle, elle est définitivement incluse dans . $X$ $X(\omega) \equiv \alpha$ $X^{-1} \left(B \right), \ B \in \mathcal{B} \left(\mathbb{R} \right)$ $\Omega$ $\varnothing$ $\alpha \in B$ $\mathcal{A}$

J'espère que cela t'aides.

— JohnK
source

est l'ensemble des événements, non? Celui que j'ai noté avec

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— DeltaIV

Oui, je suis né avec la condition de trouver

plus attrayante que

A

$\mathcal{A}$

F

$\mathcal{F}$

— JohnK

excellent! Très clair. Vous devriez écrire un livre :)

— DeltaIV