Est-il important de savoir comment vous échantillonnez une population?

J'ai une cuve bien mélangée contenant un nombre infini de billes. Il y a une quantité infinie de billes dans la cuve, mais elles ne viennent que dans un nombre inconnu mais fini de variétés : est inconnu, et pour , dessiner une bille de type pourrait être plus probable que dessiner une bille de type .

V = {v_{1}, v_{2}, v_{3}, . . ., v_{k}}

$\mathcal{V} = \{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{k}\}$

k

$k$

i \neq j

$i\neq j$

v_{i}

$v_i$

v_{j}

$v_j$

Dans une expérience, une machine échantillonne la cuve en utilisant une procédure inconnue. La machine rapporte un ensemble $X$ décrivant $q\leq k$ variétés de billes de son échantillon:

X \subseteq V; | X | = q

$X \subseteq \mathcal{V}; \quad |X|=q$

Les essais de cette expérience sont répétés ( $q$ est fixé d'un essai à l'autre) et nous obtenons une séquence de sous-ensembles de $\mathcal{V}$ , $(X_1,X_2,\dots)$ .

Les seules autres choses que nous connaissons sont:

les essais sont indépendants et identiques
la machine signale les $q$ variétés les plus fréquemment rencontrées dans son échantillon

Nous ne savons pas précisément comment la machine échantillonne les billes. Il pourrait cueillir un grand nombre de billes, puis signaler le $q$ plus fréquent. Alternativement, il pourrait continuer à ramasser des billes jusqu'à ce qu'il y ait $q$ variétés. Il pourrait aussi faire autre chose.

La distribution de nos essais $(X_1,X_2,\dots)$ sera-t-elle affectée par la procédure d'échantillonnage de la machine?

probability population

— Christian Chapman
source

+1 C'est une excellente question, car il apprécie que l'échantillonnage aléatoire ne se limite pas à une forme arbitraire vague ou à un manque de connaissances sur la procédure d'échantillonnage.

— whuber

La règle d'échantillonnage importera certainement. Sinon, envisagez cette procédure: la machine, à chaque essai, sélectionne toujours une seule bille de type 1 (première variété). Chaque tirage sera indépendant et aura une distribution identique (trivialement), et vous obtiendrez q = 1, un résultat parfaitement inutile.

— AlaskaRon

Un moyen simple de vérifier que la méthode compte est de choisir des probabilités particulières pour les types de billes et de calculer les chances de chaque sous-ensemble selon certaines méthodes. Cela ne peut cependant pas prouver que la méthode n'a pas d'importance.

Supposons qu'il existe types et les chances de chaque type sont $3$ $1/2$ , , et , respectivement. Supposons que vous choisissez types de billes. $1/4$ $1/4$ $2$

$\lbrace v_2,v_3\rbrace$ $2*1/4*1/3 = 1/6$

$\lbrace v_2,v_3\rbrace$

\frac{2 * 1 / 4 * 1 / 4}{2 * 1 / 4 * 1 / 4 + 2 * 1 / 2 * 1 / 4 + 2 * 1 / 2 * 1 / 4} = \frac{1 / 8}{1 / 8 + 1 / 4 + 1 / 4} = 1 / 5.

$\frac{2*1/4*1/4}{2*1/4*1/4 + 2*1/2*1/4 + 2*1/2*1/4} = \frac{1/8}{1/8 + 1/4 + 1/4} = 1/5.$

Comme ils sont différents, la méthode utilisée par la machine est importante. Le rejet des paires avec des types répétés tend à peser moins les paires avec des types communs.

$q$

— Douglas Zare
source