Je vois souvent le terme bruit blanc apparaître lors de la lecture de différents modèles statistiques. Je dois cependant admettre que je ne suis pas tout à fait sûr de ce que cela signifie. Il est généralement abrégé en $WN(0,σ^2)$ . Cela signifie-t-il qu'il est normalement distribué ou pourrait-il suivre une distribution?

TL; DR

La réponse est NON, cela ne doit pas être normal; OUI, il peut s'agir d'autres distributions.

Couleurs du bruit

Parlons des couleurs du bruit.

1. Le bruit qu'un enfant fait pendant le voyage en avion n'est pas blanc. Il a de la couleur.
2. Le bruit qu'un moteur d'avion fait n'est pas non plus blanc, mais il n'est pas aussi coloré que le bruit de l'enfant. C'est plus blanc.
3. Le bruit produit par un océan ou une forêt est presque blanc.

Si vous utilisez des écouteurs antibruit, vous savez que le n ° 1 est impossible à annuler. Il transpercera facilement n'importe quel casque. # 2 sera très bien annulé.

Quant au numéro 3, pourquoi l'annuleriez-vous?

Origine d'un terme "couleur"

Quelle est la distinction entre ces trois bruits? Cela vient de l' analyse spectrale . Comme vous le savez depuis les années de lycée, vous pouvez envoyer la lumière blanche à travers un prisme et elle divisera la lumière en toutes les différentes couleurs. C'est ce que nous appelons le blanc: toutes les couleurs dans approximativement la même proportion. Aucune couleur ne domine.

l'image provient de https://www.haikudeck.com/waves-and-light-vocabulary-uncategorized-presentation-w5bmS88NC9

La couleur est la lumière d'une certaine fréquence, ou vous pourriez dire des ondes électromagnétiques d'une certaine longueur d'onde comme indiqué ci-dessous. La couleur rouge a une basse fréquence par rapport au bleu, de manière équivalente la couleur rouge a une longueur d'onde plus longue de près de 800 nm par rapport à la longueur d'onde bleue de 450 nm.

l'image est d'ici: https://hubpages.com/education/Teachers-Guide-for-Radiation-beyond-Visible-Spectrum

Analyse spectrale

Si vous prenez du bruit, qu'il soit acoustique, radio ou autre, et que vous l'envoyez via l'outil d'analyse spectrale tel que la FFT, vous obtenez sa décomposition spectrale. Vous verrez combien de chaque fréquence est dans le bruit, comme indiqué dans l'image suivante de Wikipedia. Il est clair que ce n'est pas du bruit blanc: il a des pics clairs à 50Hz, 40Hz etc.

Si une bande de fréquence étroite ressort, elle est appelée colorée, comme pas en blanc . Ainsi, le bruit blanc est comme la lumière blanche, il a une large gamme de fréquences dans approximativement la même proportion que celle illustrée dans la figure suivante de ce site . Le graphique du haut montre l'enregistrement de l'amplitude et le bas montre la décomposition spectrale. Aucune fréquence ne sort. Le bruit est donc blanc.

Sinus parfait

Maintenant, pourquoi la séquence de nombres aléatoires indépendants distribués de manière identique (iid) génère-t-elle le bruit blanc? Pensons à ce qui fait colorer un signal. Ce sont les ondes de certaines fréquences qui dépassent des autres. Ils dominent le spectre. Considérons une onde de signe parfaite: . Voyons quelle est la covariance entre deux points quelconques secondes d'intervalle: φ = 1 / 2 E [ sin ( 2 π t ) × sin ( 2 π ( t + 1 / 2 ) ] = - E [ sin 2 ( 2 π t ) ] = - $\sin(2\pi t)$$\phi=1/2$

Ainsi, en présence de l'onde sinusoïdale, nous obtiendrons une autocorrélation dans la série temporelle: toutes les oservations à une demi-seconde d'intervalle seront parfaitement corrélées négativement! Maintenant, dire que nos données sont iid implique qu'il n'y a aucune autocorrélation que ce soit. Cela signifie qu'il n'y a pas d'ondes dans le signal. Le spectre du bruit est plat.

Exemple imparfait

Voici un exemple que j'ai créé sur mon ordinateur. J'ai d'abord enregistré mon diapason , puis j'ai enregistré le bruit des ventilateurs de l'ordinateur. J'ai ensuite exécuté le code MATLAB suivant pour analyser les spectres:

[y,Fs] = audioread(filew);

data = y(1000:5000,1);
plot(data)
figure
periodogram(data,[],[],Fs);
[pxx,f] = periodogram(data,[],[],Fs);
 [pm,i]=max(pxx);
 f(i)

Voici le signal et le spectre du diapason. Comme prévu, il a un pic à environ 440 Hz. Le diapason doit produire un signal sinusoïdal presque idéal, comme dans mon exemple théorique plus tôt.

Ensuite, j'ai fait de même pour le bruit. Comme prévu, aucune fréquence ne sort. Ce n'est évidemment pas le bruit blanc, mais il s'en rapproche assez. Je pense qu'il doit y avoir une fréquence très élevée, ça me dérange un peu. Je dois changer le ventilateur bientôt. Cependant, je ne le vois pas dans le spectre. Peut-être parce que mon microphone est au-delà de la merde ou que la fréquence d'échantillonnage n'est pas assez élevée.

La distribution n'a pas d'importance

La partie importante est que dans la séquence aléatoire, les nombres ne sont pas autocorrélés (ou même plus forts, indépendants). La distribution exacte n'est pas importante. Il peut être gaussien ou gamma, mais tant que les nombres ne sont pas corrélés dans la séquence, le bruit sera blanc.

Le bruit blanc signifie simplement que la séquence d'échantillons n'est pas corrélée avec une moyenne nulle et une variance finie. Il n'y a aucune restriction sur la distribution à partir de laquelle les échantillons sont tirés. Maintenant, si les échantillons proviennent d'une distribution normale, vous avez un type spécial de bruit blanc appelé bruit blanc gaussien.