Attente «inattendue»

L'un de nos experts Monte-Carlo peut-il expliquer l'attente "inattendue" à la fin de cette réponse ?

Résumé ex post facto de l'autre question / réponse: si sont des variables aléatoires IID et que les attentes existent, alors un simple argument de symétrie montre que , mais une expérience de Monte Carlo avec semble contredire cette proposition.$X_1,\dots,X_n$$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]$$\mathrm{E}[X_i/\bar{X}]=1$$X_i\sim\mathrm{N}(0,1)$

x <- matrix(rnorm(10^6), nrow = 10^5)
mean(x[,2]/rowMeans(x))

[1] 5.506203

L'explication à l'évaluation de Monte Carlo du rapport prenant des valeurs étranges est que l'attente n'existe pas. Comme une transformation d'un Cauchy dans votre exemple Normal . En effet, qui n'est pas intégrable à car équivalent à .$\mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)]$$X_1/X_2$

$$\begin{align*} \mathbb{E}[X_1/(X_1+X_2)] &=\mathbb{E}[1/(1+X_2/X_1)]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+y}\,\frac{1}{\pi(1+y^2)}\text{d}y \end{align*}$$ $y=-1$$(y+1)^{-1}$

Notez que n'est pas une variable de Cauchy mais la transformation d'une variable de Cauchy par la fonction La raison est que et que où .$X_1/\bar{X}$

$$f:\ y \to \dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}y}$$ $$(X_2+\ldots+X_n)\sim\text{N}(0,n-1)$$ $$\frac{X_1}{\bar{X}}=\dfrac{n}{1+(X_2+\ldots+X_n)/X_1}=\dfrac{n}{1+\sqrt{n-1}Z/X_1}$$ $Z\sim\text{N}(0,1)$

Notez que, lorsque grandit à l'infini, converge en distribution vers la variable aléatoire égale à avec une probabilité .$n$$X_1/\bar{X}$$\pm \infty$$1/2$