Un écart-type des scores bruts peut-il être signalé comme un écart-type des pourcentages?

Supposons que nous ayons un test composé de 30 questions et que 10 personnes passent ce test. Le score moyen au test de ces 10 personnes est de 17, et l'écart-type de tous les scores de l'échantillon est de 4. Lorsque nous rapportons les statistiques descriptives à l'école, nous utilisons ces scores bruts et écrivons ( M = 17, SD = 4); mais dans certains cas, j'ai le sentiment que les pourcentages de déclaration seraient mieux. Parce que je pense que nous avons une compréhension plus intuitive de ce que signifie marquer 56,7 sur 100 que marquer 17 sur 30 (probablement parce que nous sommes habitués au système décimal).

Ainsi, pour l'exemple donné ci-dessus, serait-il possible de rapporter la moyenne et l'écart type comme ( M = 56,7%, SD = 13,3%)?

Est-il sensé de dire que les résultats aux examens d'un échantillon ont l'écart type de 13,3%?

Ces pourcentages sont l'équivalent arithmétique des scores bruts que j'ai établis et donnés ci-dessus, mais je ne sais pas s'il est de bonne pratique de les convertir directement en pourcentages comme celui-ci.

mean standard-deviation percentage

— Freya
source

AFAIK, vous pouvez transformer des variables continues à une autre échelle et afficher la distribution sur cette échelle tant que vous savez clairement comment vous y êtes arrivé. Dans votre cas, cependant, vous pouvez vous demander si le score brut atteint à partir de 30 questions offre suffisamment d'informations pour se transformer en une échelle continue allant de 0 à 100 (%) (car les données ne prennent en charge que des incréments de 3,33%).

— IWS

Oui c'est vrai. Un score supérieur à 30 n'est pas aussi informatif que le score converti (supérieur à 100), car les incréments de 100 sont plus petits (1) et donc un test de plus de 100 points serait plus "sensible" à condition que toutes les notes soient des nombres entiers. Néanmoins, compte tenu de votre réponse, je pense qu'il ne sera pas considéré comme une "faute professionnelle" dans mon cas de les signaler de cette manière. (Je prépare actuellement un devoir pour l'école et je vais rapporter la moyenne brute et l'écart-type dans le texte, mais je crois simplement qu'il serait plus logique d'afficher ces scores sous forme de pourcentages dans les tableaux et graphiques). D'après ce que je comprends, ce serait faisable.

— Freya

Juste pour être complet: notez que certaines transformations peuvent en fait changer la forme de la distribution, vous ne devez donc pas simplement appliquer la transformation que vous souhaitez appliquer à vos données directement à l'emplacement et à la répartition de votre mesure. Au lieu de cela, appliquez la transformation à vos données, puis évaluez les mesures de localisation et de répartition comme s'il s'agissait des données d'origine (c.-à-d. Redéfinissez la moyenne et le sd dans votre cas).

— IWS

Techniquement, en tant que mesure de la distance plutôt que de l'emplacement, l'écart-type serait un pourcentage (pp) plutôt qu'un pourcentage. Je me méfierais également de l'interpréter dans ce contexte car le modèle d'erreur devrait tenir compte du fait que l'échelle est discrète comme l'a mentionné @freya.

— James

L'écart type n'est qu'une propriété statistique que vous pouvez mesurer pour un ensemble de points de données. L'écart type ne fait lui-même aucune hypothèse selon laquelle vos données sont normalement distribuées ou n'ont pas subi de transformations, linéaires ou autres.

Par conséquent, il est parfaitement acceptable d'utiliser l'écart-type sur toutes les données, y compris les scores en pourcentage.

Notez que, dans votre cas particulier, la transformation que vous appliquez est une transformation linéaire, de la forme:

y = A x + b

$y = Ax + b$

c'est-à-dire une transformation affine. Vous pouvez donc calculer l'écart-type sur les données d'origine non transformées, puis multiplier par Apour obtenir l'écart-type après la transformation. Il ne semble y avoir aucun avantage particulier à le faire plutôt que de simplement calculer l'écart-type sur les données déjà transformées, mais cela pourrait être rassurant.

Nous pouvons voir qu'une transformation affine transformera l'écart type linéairement par , comme suit: $A$

Étant donné que nous avons des données d'entrée , l'écart-type d'origine, , sera donné par: $\{X_1, X_2, ..., X_n\}$ $\sigma$

σ_{X}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j})}^{2}

$\sigma_X^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)^2$

Appliquons la transformation . Ensuite nous avons $Y = AX + b$

σ_{Y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(A X_{i} + b - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (A X_{j} + b))}^{2}

$\sigma_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j + b \right) \right)^2$

= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(A X_{i} + b - n \frac{1}{n} b - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (A X_{j}))}^{2}

$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - n\frac{1}{n}b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$

= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(A X_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (A X_{j}))}^{2}

$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$

= A^{2} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}))}^{2})

$= A^2 \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( X_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( X_j \right) \right)^2 \right)$

= A^{2} σ_{X}^{2}

$= A^2 \sigma_X^2$

Donc

σ_{Y} = A σ_{X} .

$\sigma_Y = A \sigma_X.$

— Hugh Perkins
source

C'est en fait très utile et éclairant. Je vous remercie.

— Freya