Valeur attendue du temps d'attente pour le premier des deux bus circulant toutes les 10 et 15 minutes

19

Je suis tombé sur une question d'entrevue:

Il y a un train rouge qui arrive toutes les 10 minutes. Il y a un train bleu toutes les 15 minutes. Les deux partent d'un moment aléatoire, vous n'avez donc aucun horaire. Si vous arrivez à la gare à une heure aléatoire et prenez le train qui arrive en premier, quel est le temps d'attente prévu?

probability random-variable expected-value

— Shengjie Zhang
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3

Les trains arrivent-ils à l'heure mais avec des phases inconnues également réparties, ou suivent-ils un processus de poisson avec des moyens de 10 minutes et 15 minutes.

— Tilefish Poele

1

L'ancien, pas le poisson.

— Shengjie Zhang

7

@Tilefish fait un commentaire important auquel tout le monde devrait prêter attention. Il n'y a pas de réponse définitive. Vous devez supposer ce que pourrait signifier «partir d'un moment aléatoire». (Cela signifie-t-il qu'ils démarrent simultanément ou qu'ils commencent à des moments inconnus différents? Qu'est-ce qui justifierait de traiter "inconnu" comme une variable aléatoire avec une distribution connue définie?) En fonction de leur différence de phase (qui importe seulement modulo 5 minutes), la réponse peut varier du au . Une distribution uniforme de la différence de phase donnerait .

15 / 4

$15/4$

25 / 6

$25/6$

35 / 9

$35/9$

— whuber

@whuber tout le monde semblait interpréter le commentaire d'OP comme si deux bus partaient à deux moments aléatoires différents. Qu'ils commencent au même moment aléatoire semble être une prise inhabituelle

— Aksakal

1

@Aksakal. Pas tout le monde: je ne le fais pas et au moins une réponse dans ce fil ne le fait pas - c'est pourquoi nous voyons des réponses numériques différentes. De plus, presque personne ne reconnaît avoir dû faire une telle interprétation de la question pour obtenir une réponse.

— whuber

15

Une façon d'aborder le problème est de commencer par la fonction de survie. Pour attendre au moins minutes, vous devez attendre au moins minutes pour le train rouge et le train bleu. Ainsi, la fonction de survie globale n'est que le produit des fonctions de survie individuelles: $t$ $t$

S (t) = (1 - \frac{t}{10}) (1 - \frac{t}{15})

$S(t) = \left( 1 - \frac{t}{10} \right) \left(1-\frac{t}{15} \right)$

qui, pour , est la probabilité que vous deviez attendre au moins minutes pour le prochain train. Cela tient compte de la clarification du PO dans un commentaire selon lequel les hypothèses correctes à prendre sont que chaque train a un horaire fixe indépendant de l'autre et de l'heure d'arrivée du voyageur, et que les phases des deux trains sont uniformément réparties. , $0 \le t \le 10$ $t$

Ensuite, le pdf est obtenu comme

p (t) = (1 - S (t))^{'} = \frac{1}{10} (1 - \frac{t}{15}) + \frac{1}{15} (1 - \frac{t}{10})

$p(t) = (1-S(t))' = \frac{1}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{1}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right)$

Et la valeur attendue est obtenue de la manière habituelle:

, $E[t] = \int_0^{10} t p(t) dt = \int_0^{10} \frac{t}{10} \left( 1- \frac{t}{15} \right) + \frac{t}{15} \left(1-\frac{t}{10} \right) dt = \int_0^{10} \left( \frac{t}{6} - \frac{t^2}{75} \right) dt$

ce qui équivaut à minutes. $\frac{35}{9}$

— Dave
source

Dave, pouvez-vous expliquer comment p (t) = (1- s (t)) '?

— Chef1075

Je peux expliquer que pour vous S (t) = 1-F (t), p (t) est juste le f (t) = F (t) '.

— Deep North

4

L'idée de la fonction de survie est excellente. Mais pourquoi dériver le PDF lorsque vous pouvez directement intégrer la fonction de survie pour obtenir l'attente? En effet, les deux tiers de cette réponse ne font que démontrer le théorème fondamental du calcul avec un exemple particulier. Et qu'est-ce qui justifie l'utilisation du produit pour obtenir du

? Il y a une hypothèse cachée derrière cela.

S

$S$

— whuber

2

@whuber Je préfère cette approche, dérivant le PDF de la fonction de survie, car elle gère correctement les cas où le domaine de la variable aléatoire ne commence pas à 0.

— Dave

2

(1) Votre domaine est positif. (2) La formule est facilement généralisée. .

— whuber

9

La réponse est obtenir les piècesintérieur des parenthèses: Donc, la partie est:

E [t] = \int_{x} \int_{y} min (x, y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x d y = \int_{x} (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x

$E[t]=\int_x\int_y \min(x,y)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx dy=\int_x\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx$

\int_{y < x} y d y = y^{2} / 2 |_{0}^{x} = x^{2} / 2

$\int_{y<x}ydy=y^2/2|_0^x=x^2/2$

\int_{y > x} x d y = x y |_{x}^{15} = 15 x - x^{2}

$\int_{y>x}xdy=xy|_x^{15}=15x-x^2$

Enfin,

(.) = (\int_{y < x} y d y + \int_{y > x} x d y) = 15 x - x^{2} / 2

$(.)=\left(\int_{y<x}ydy+\int_{y>x}xdy\right)=15x-x^2/2$

E [t] = \int_{x} (15 x - x^{2} / 2) \frac{1}{10} \frac{1}{15} d x = (15 x^{2} / 2 - x^{3} / 6) |_{0}^{10} \frac{1}{10} \frac{1}{15} = (1500 / 2 - 1000 / 6) \frac{1}{10} \frac{1}{15} = 5 - 10 / 9 \approx 3.89

$E[t]=\int_x (15x-x^2/2)\frac 1 {10} \frac 1 {15}dx= (15x^2/2-x^3/6)|_0^{10}\frac 1 {10} \frac 1 {15}\\= (1500/2-1000/6)\frac 1 {10} \frac 1 {15}=5-10/9\approx 3.89$

Voici le code MATLAB à simuler:

nsim = 10000000;
red= rand(nsim,1)*10;
blue= rand(nsim,1)*15;
nextbus = min([red,blue],[],2);
mean(nextbus)

— Aksakal
source

1

Vous faites des hypothèses incorrectes sur le point de départ initial des trains. ie en utilisant votre logique, combien de trains rouges et bleus viennent toutes les 2 heures? Combien de trains au total sur les 2 heures? etc.

— Tilefish Poele

1

Les trains ne peuvent-ils pas arriver à la minute 0 et à la minute 60?

— Tilefish Poele

1

qu'en est-il s'ils commencent en même temps, c'est ce que j'essaie de dire. Et s'ils commencent tous les deux à la minute 0. Combien de trains arrivez-vous?

— Tilefish Poele

1

La simulation n'émule pas exactement l'énoncé du problème. En particulier, il ne modélise pas l '"heure aléatoire" à laquelle vous apparaissez à la gare routière. En tant que tel, il incarne plusieurs hypothèses non énoncées sur le problème.

— whuber

2

@whuber il émule la phase des bus par rapport à mon arrivée à la gare

— Aksakal

4

$x$ $\frac{10-x}{10} \times \frac{15-x}{15}$ $0 \le x \le 10$ $\frac{35}9\approx 3.889$

$\frac{1}{15}+\frac{1}{10}=\frac{1}{6}$ $6$

— Henri
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3

@Dave ça va si le support est des nombres réels non négatifs.

— Neil G

3

@dave Il manque certaines justifications, mais c'est la bonne solution tant que vous supposez que les trains arrivent sont uniformément distribués (c'est-à-dire un horaire fixe avec des temps inter-trains constants connus, mais un décalage inconnu). Il fonctionne avec n'importe quel nombre de trains. En effet, la valeur attendue d'une variable aléatoire non négative est l'intégrale de sa fonction de survie.

— Neil G

1

10

$10$

\frac{10 - x}{10}

$\frac{10-x}{10}$

0 \leq x \leq 10

$0 \le x \le 10$

5

$5$

λ = \frac{1}{10}

$\lambda=\frac1{10}$

e^{- λ x}

$e^{-\lambda x}$

0 \leq x < \infty

$0 \le x \lt \infty$

\frac{1}{λ} = 10

$\frac1\lambda=10$

1

0

$0$

3

+1 En ce moment, c'est la réponse unique qui est explicite sur ses hypothèses. Tous les autres font des hypothèses critiques sans les reconnaître.

— whuber

2

Je me trompe probablement, mais en supposant que l'heure de départ de chaque train suit une distribution uniforme, je dirais qu'en arrivant à la gare à un moment aléatoire, le temps d'attente prévu pour:

$R$ $\mathbb{E}[R] = 5$
$B$ $\mathbb{E}[B] = 7.5$
$\mathbb{E}[\min(R,B)] =\frac{15}{10}(\mathbb{E}[B]-\mathbb{E}[R]) = \frac{15}{4} = 3.75$

Comme souligné dans les commentaires, j'ai compris que "les deux partent d'un moment aléatoire" comme "les deux trains partent au même moment aléatoire". Ce qui est une hypothèse très limitative.

— rester en vie
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1

Merci! Vous avez la bonne réponse. Mais 3. n'est toujours pas évident pour moi. Pourriez-vous expliquer un peu plus?

— Shengjie Zhang

1

Ce n'est pas la bonne réponse

— Aksakal

1

Je pense que l'approche est bonne, mais votre troisième étape n'a pas de sens.

— Neil G

2

Cette réponse suppose qu'à un moment donné, les trains rouge et bleu arrivent simultanément: c'est-à-dire qu'ils sont en phase. D'autres réponses font une hypothèse différente sur la phase.

— whuber

2

$\Delta$ $0\le\Delta<10$ $t=0$

$\Delta$ $0$ $5$ $t=0$ $t=30$ $\Delta$ $10$ $5-\Delta$ $\Delta + 5$ $10-\Delta$

$W_\Delta(t)$ $t$ $W_\Delta(t)$ $t$ $-1$ $0$ $30$ $30$

\begin{aligned} {\bar{W}}_{Δ} & := \frac{1}{30} (\frac{1}{2} [Δ^{2} + 10^{2} + (5 - Δ)^{2} + (Δ + 5)^{2} + (10 - Δ)^{2}]) \\ = \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) . \end{aligned}

$\begin{align}\bar W_\Delta &:= \frac1{30}\left(\frac12[\Delta^2+10^2+(5-\Delta)^2+(\Delta+5)^2+(10-\Delta)^2]\right)\\&=\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125). \end{align}$

Δ + 5

$\Delta+5$

{\bar{W}}_{Δ} = {\bar{W}}_{Δ + 5}

$\bar W_\Delta=\bar W_{\Delta+5}$

0 \leq Δ < 5

$0\le\Delta<5$

$\Delta$

\frac{1}{5} \int_{Δ = 0}^{5} \frac{1}{30} (2 Δ^{2} - 10 Δ + 125) d Δ = \frac{35}{9} .

$\frac15\int_{\Delta=0}^5\frac1{30}(2\Delta^2-10\Delta+125)\,d\Delta=\frac{35}9.$

— grand_chat
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2

Il s'agit d'un processus de Poisson. Le train rouge arrive selon une distribution de Poisson avec un paramètre de taux 6 / heure.
Le train bleu arrive également selon une distribution de Poisson au taux 4 / heure. Les arrivées de train rouge et les arrivées de train bleu sont indépendantes. Le nombre total d'arrivées de trains est également de Poisson avec un taux de 10 / heure. Étant donné que la somme du temps entre les arrivées des trains est exponentielle avec une moyenne de 6 minutes. Puisque la moyenne exponentielle est l'inverse du paramètre du taux de Poisson. Étant donné que la distribution exponentielle est sans mémoire, votre temps d'attente attendu est de 6 minutes.

— Alison
source

Le Poisson est une hypothèse qui n'a pas été spécifiée par l'OP. Mais une telle hypothèse est nécessaire. La logique est impeccable. +1 J'aime cette solution.

— Michael R. Chernick

1

OP a déclaré spécifiquement dans les commentaires que le processus n'est pas Poisson

— Aksakal