Utilisations réelles des fonctions de génération de Moment

Dans la plupart des cours de théorie des probabilités de base, vos fonctions de génération de moment (mgf) sont utiles pour calculer les moments d'une variable aléatoire. En particulier l'attente et la variance. Maintenant, dans la plupart des cours, les exemples qu'ils fournissent pour l'attente et la variance peuvent être résolus analytiquement en utilisant les définitions.

Existe-t-il des exemples réels de distributions où il est difficile de faire une analyse analytique de l'attente et de la variance et donc l'utilisation de mgf était nécessaire? Je demande parce que j'ai l'impression de ne pas voir exactement pourquoi elles sont importantes dans les cours de base.

Vous avez raison, les mgf peuvent sembler quelque peu démotivés dans les cours d'introduction. Donc, quelques exemples d'utilisation. Premièrement, dans les problèmes de probabilité discrets, nous utilisons souvent la fonction de génération de probabilité, mais ce n'est qu'un emballage différent du mgf, voir Quelle est la différence entre la fonction de génération de moment et la fonction de génération de probabilité? . Le pgf peut être utilisé pour résoudre certains problèmes de probabilité qui pourraient être difficiles à résoudre autrement, pour un exemple récent sur ce site, voir PMF du nombre d'essais requis pour deux têtes successives ou la somme de distributions gamma avec étant une distribution de poisson$N$$N$. Certaines applications pas si évidentes qui pourraient encore être utilisées dans un cours d'introduction sont données dans Attente de réciproque d'une variable , Valeur attendue de lorsque suit une distribution bêta$1/x$$x$ et Pour les VR indépendants , ne impliquent ? $X_1,X_2,X_3$$X_1+X_2\stackrel{d}{=}X_1+X_3$$X_2\stackrel{d}{=}X_3$.

Un autre type d'utilisation est la construction d'approximations des distributions de probabilité, un exemple est l'approximation du point de selle, qui prend comme point de départ les logarithmes naturels du mgf, appelé la fonction de génération de cumul. Voir Comment fonctionne l'approximation du point de selle? et pour quelques exemples, voir Bound pour la somme pondérée des variables aléatoires de Poisson et la somme générique des variables aléatoires Gamma

Les Mgf peuvent également être utilisés pour prouver des théorèmes de limite, par exemple la limite de poisson des distributions binomiales. Comprendre intuitivement pourquoi la distribution de Poisson est le cas limite de la distribution binomiale peut être prouvée via les mgf.

Quelques exemples (ensembles d'exercices avec solutions) d'utilisation actuarielle des mgf peuvent être trouvés ici: https://faculty.math.illinois.edu/~hildebr/370/370mgfproblemssol.pdf Rechercher sur Internet avec "actuarielle fonction de génération de moment" donnera beaucoup d'exemples similaires. Les actuaires semblent utiliser les mgf pour résoudre certains problèmes (qui surviennent par exemple dans les calculs de primes) qui sont difficiles à résoudre autrement. Un exemple dans la section 3.5 page 21 et des livres sur la théorie du risque actuariel . Une source de mgf (estimée) pour de telles applications pourrait être des mgf empiriques (étrangement, je ne trouve même pas un article ici sur les fonctions de génération de moments empiriques).

Existe-t-il des exemples réels de distributions où il est difficile de faire une analyse analytique de l'attente et de la variance et donc l'utilisation de mgf était nécessaire?

Il existe de nombreux problèmes où il est difficile de trouver la moyenne et la variance en utilisant leurs formules standard comme somme / intégrale sur la masse / densité. Un exemple où cela est difficile, mais pas impossible, est la distribution du collecteur de coupons , qui a une fonction de masse de probabilité:

où la fonction désigne les nombres de Stirling du second type . Si vous essayez d'utiliser la méthode standard ici, vous vous retrouverez avec une formule récursive impliquant les nombres de Stirling, et c'est compliqué à travailler. Une méthode plus simple pour obtenir la moyenne et la variance consiste à dériver la fonction de génération cumulative (logarithme de la fonction de génération de moment) qui ne contient plus les nombres de Stirling. Il est alors relativement simple d'obtenir les cumulants de la distribution. Je vous recommande d'essayer cet exercice via les deux méthodes pour voir ce que je veux dire.$S$